Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Álgebra abstracta


El álgebra abstracta es un campo fascinante de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas más allá de la aritmética y el álgebra elemental aprendidas en la escuela secundaria. En la escuela secundaria, los estudiantes tratan principalmente con el álgebra de números y funciones, mientras que en el álgebra abstracta nos adentramos en sistemas más complejos como grupos, anillos y cuerpos. Estas estructuras nos ayudan a entender y formalizar conceptos que son la base de las matemáticas modernas y muchas aplicaciones prácticas en ciencias de la computación, física e ingeniería.

Estructuras algebraicas

Una estructura algebraica consiste en un conjunto equipado con una o más operaciones. El estudio de estas estructuras es central en el álgebra abstracta. Aquí están algunas de las estructuras algebraicas más importantes:

Grupo

Un grupo es un conjunto de elementos combinados mediante una operación que satisface cuatro propiedades fundamentales: clausura, asociatividad, identidad e invertibilidad.

Formalmente, un grupo es un conjunto G con una operación binaria * tal que:

1. Clausura: Para cada a, b en G, el resultado de la operación a * b también está en G
2. Asociatividad: para cada a, b, c en G, (a * b) * c = a * (b * c)
3. Identidad: Existe un elemento e en G tal que para cada a en G, e * a = a * e = a.
4. Invertibilidad: para cada a en G, existe un elemento b en G tal que a * b = b * a = e (donde e es el elemento identidad).

Ejemplo: Considera el grupo Z de enteros bajo la adición. Forma un grupo porque satisface las cuatro propiedades: clausura (la suma de dos enteros es un entero), asociatividad, identidad (el entero 0, ya que cualquier entero permanece sin cambios cuando se suma 0) e invertibilidad (para cualquier entero a, existe -a tal que a + (-a) = 0).

Anillos

Un anillo es una estructura algebraica que consiste en un conjunto equipado con dos operaciones binarias que generalizan las operaciones aritméticas de suma y multiplicación. Un anillo debe cumplir varias propiedades, incluyendo la presencia de una identidad aditiva y la propiedad distributiva.

Formalmente, un anillo es un conjunto R con dos operaciones: adición + y multiplicación *, tal que:

1. (R, +) es un grupo abeliano.
2. La multiplicación es asociativa.
3. Se aplican las leyes distributivas: para todo a, b, c en R, a * (b + c) = a * b + a * c y (b + c) * a = b * a + c * a.

Ejemplo: El conjunto de todos los enteros Z con las operaciones habituales de suma y multiplicación es un anillo.

Cuerpo

Un cuerpo es una estructura algebraica en la que la suma, resta, multiplicación y división están definidas y se comportan de la misma manera que normalmente lo hacen con los números racionales y reales. Un cuerpo es un tipo especial de anillo.

Formalmente, un cuerpo es un conjunto F con dos operaciones (suma y multiplicación) tal que:

1. (F, +) es un grupo abeliano.
2. (F  {0}, *) es también un grupo abeliano.
3. Las reglas de distribución se aplican como se indica en el anillo.

Ejemplo: El conjunto Q de números racionales es un cuerpo porque permite la suma, resta, multiplicación y división (excepto por cero) y satisface todas las propiedades de un cuerpo.

Representación visual

Grupo Anillos Cuerpo

El diagrama de arriba muestra claramente la relación entre grupos, anillos y cuerpos. Nótese cómo todo cuerpo es un anillo y todo anillo incluye el concepto de grupo debido a sus propiedades aditivas.

Importancia en las matemáticas

El álgebra abstracta juega un papel vital en las matemáticas modernas. Proporciona el marco para unificar muchos conceptos matemáticos avanzados. Aquí hay algunas razones por las cuales el álgebra abstracta es tan esencial:

  • Lleva a una comprensión exhaustiva de los sistemas numéricos y las reglas aritméticas que los gobiernan.
  • El álgebra abstracta forma la base para teorías matemáticas más avanzadas como la topología, la geometría algebraica y la criptografía.
  • Sus conceptos se utilizan en una variedad de campos matemáticos aplicados, incluyendo la teoría de códigos, el procesamiento de señales y el desarrollo de pruebas matemáticas.

Conclusión

El álgebra abstracta es un campo rico y profundo de las matemáticas que va más allá de los números para estudiar estructuras algebraicas más generales como grupos, anillos y cuerpos. Al entender estas estructuras, los matemáticos pueden resolver problemas complejos y desarrollar nuevas teorías matemáticas que impactan la tecnología y la ciencia. El viaje hacia el álgebra abstracta es tanto desafiante como gratificante, ya que abre nuevas perspectivas para entender el mundo de las matemáticas.


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