Поле

В мире математики абстрактная алгебра является мощным инструментом, который помогает нам глубже проникнуть в фундаментальные структуры, формирующие алгебраические системы. Ключевым компонентом абстрактной алгебры является концепция "поля". Поле — это увлекательная структура, которая расширяет наше понимание числовых систем, которые мы регулярно используем, таких как целые числа, рациональные числа, реальные числа и комплексные числа.

Основное определение области

Поле — это множество, в котором определены две бинарные операции, обычно называемые сложением и умножением, удовлетворяющие определенным свойствам. Эти свойства таковы:

1. Замкнутость: Для любых двух элементов (a) и (b) в поле (F):
   • Их сумма (a + b) также принадлежит (F).
   • Их произведение (a cdot b) также принадлежит (F).
2. Ассоциативность:
   • Для сложения: ((a + b) + c = a + (b + c))
   • Для умножения: ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
3. Коммутативность:
   • Для сложения: (a + b = b + a)
   • Для умножения: (a cdot b = b cdot a)
4. Единичный элемент: В (F) существуют два специальных элемента:
   • Нулевой элемент: Существует элемент 0 такой, что для всех (a in F), (a + 0 = a).
   • Умножительный единичный элемент: Существует элемент 1 такой, что для всех (a in F), (a cdot 1 = a). Заметьте, что (0 neq 1).
5. Обратные элементы: Для каждого элемента поля:
   • Обратный для сложения: Для каждого (a in F) существует элемент (-a) такой, что (a + (-a) = 0).
   • Обратный для умножения: Для каждого (a neq 0) в (F) существует элемент (a^{-1}), такой что (a cdot a^{-1} = 1).
6. Дистрибутивность: Умножение распределяется по сложению:

               A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C
           

Примеры полей

Рациональные числа ((mathbb{Q}))

Множество всех рациональных чисел, обозначенное как (mathbb{Q}), образует поле. Рациональные числа — это числа, которые можно выразить в виде дроби двух целых чисел, где знаменатель отличен от нуля.

Давайте рассмотрим свойства поля на примере рациональных чисел:

• Замкнутость: Сумма или произведение любых двух рациональных чисел также является рациональным числом.
• Ассоциативность, коммутативность и дистрибутивность: Эти свойства известны в отношении сложения и умножения, применяемых к рациональным числам.
• Единичный элемент: Нулевой элемент — 0, а умножительный единичный элемент — 1.
• Обратный элемент: У каждого рационального числа есть обратный для сложения (то есть, (-a)), и у каждого ненулевого рационального числа есть обратный для умножения (то есть, если (a neq 0), то (a^{-1}) существует).

Реальные числа ((mathbb{R}))

Множество всех реальных чисел, обозначенное как (mathbb{R}), является другим примером поля. Реальные числа включают в себя все рациональные числа и все иррациональные числа (числа, которые нельзя выразить в виде простых дробей).

Свойства поля применяются к реальным числам так же, как и к рациональным. Вы можете проверить каждое из этих свойств, тестируя различные реальные числа.

Комплексные числа ((mathbb{C}))

Множество всех комплексных чисел, обозначенное как (mathbb{C}), также образует поле. Комплексное число определяется как (a + bi), где (a) и (b) — это реальные числа, а (i) — это мнимая единица, имеющая свойство (i^2 = -1).

    (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)i
    (a + bi) cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Как и в других полях, вы можете исследовать замкнутость, ассоциативность, коммутативность, единичные элементы, обратные элементы и дистрибутивные правила для комплексных чисел.

Не-примеры полей

Целые числа ((mathbb{Z}))

Хотя может показаться, что целые числа могут образовать поле, это не так. Причина в том, что не у каждого ненулевого целого числа есть обратный для умножения в пределах целых чисел.

Например, рассмотрим целое число 2. Нет такого целого числа (x), что удовлетворяло бы следующему:

    2 cdot x = 1

Решение (x = 0.5) не является целым числом.

Визуальный пример полей

Поле можно лучше понять, визуализируя операции. Ниже представлен простой пример визуализации сложения и умножения в поле реальных чисел.

В этой визуализации синие, красные и зеленые точки представляют числа на числовой линии действительных чисел. Верхняя числовая линия представляет собой операцию сложения, где числа складываются для образования третьего числа в поле. Нижняя числовая линия представляет умножение в пределах действительных чисел.

Конечные поля

Конечное поле, также известное как поле Галуа, это поле, которое содержит конечное количество элементов. Наиболее распространенным примером конечного поля является группа целых чисел (mathbb{Z}_p) с операциями сложения и умножения по модулю простого числа (p).

Пример: (mathbb{Z}_5)

Множество (mathbb{Z}_5) содержит числа {0, 1, 2, 3, 4}, которые складываются и умножаются по модулю 5. Ниже приведены таблицы сложения и умножения для (mathbb{Z}_5).

    Таблица сложения:
      + | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 1 2 3 4
      1 | 1 2 3 4 0
      2 | 2 3 4 0 1
      3 | 3 4 0 1 2
      4 | 4 0 1 2 3

    Таблица умножения:
      × | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 0 0 0 0
      1 | 0 1 2 3 4
      2 | 0 2 4 1 3
      3 | 0 3 1 4 2
      4 | 0 4 3 2 1

В (mathbb{Z}_5), каждый ненулевой элемент имеет обратный для умножения, удовлетворяя всем свойствам поля. Например, обратный для 3 — это 2, так как:

    3 cdot 2 equiv 6 equiv 1  (text{mod}  5)

Заключение

Поля являются краеугольным камнем современных алгебраических структур, которые широко используются в таких областях, как теория чисел, алгебраическая геометрия и криптография. Понимание полей дает представление о симметриях и структурах, присущих различным математическим системам, позволяя вам использовать их более глубокие свойства в теоретических и практических приложениях.

комментарии