Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Campo


No mundo da matemática, a álgebra abstrata é uma ferramenta poderosa que nos ajuda a aprofundar nosso entendimento das estruturas fundamentais que moldam os sistemas algébricos. Um componente chave da álgebra abstrata é o conceito de "campo". Um campo é uma estrutura fascinante que amplia nossa compreensão dos sistemas numéricos que usamos regularmente, como inteiros, números racionais, números reais e números complexos.

Definição básica da área

Um campo é um conjunto equipado com duas operações binárias, comumente denominadas adição e multiplicação, que satisfazem propriedades específicas. Essas propriedades são:

  1. Fechamento: Para quaisquer dois elementos (a) e (b) em um campo (F):
    • A sua soma (a + b) também está em (F).
    • O seu produto (a cdot b) também está em (F).
  2. Propriedade associativa:
    • Para a adição: ((a + b) + c = a + (b + c))
    • Para a multiplicação: ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
  3. Propriedade comutativa:
    • Para a adição: (a + b = b + a)
    • Para a multiplicação: (a cdot b = b cdot a)
  4. Elemento identidade: Existem dois elementos especiais em (F):
    • Identidade aditiva: Existe um elemento 0 tal que para todo (a in F), (a + 0 = a).
    • Identidade multiplicativa: Existe um elemento 1 tal que para todo (a in F), (a cdot 1 = a). Note que (0 neq 1).
  5. Elementos inversos: Para cada elemento do campo:
    • Inverso aditivo: Para cada (a in F), existe um elemento (-a) tal que (a + (-a) = 0).
    • Inverso multiplicativo: Para cada (a neq 0) em (F), existe um elemento (a^{-1}) tal que (a cdot a^{-1} = 1).
  6. Propriedade distributiva: A multiplicação distribui-se sobre a adição: 
                A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C

Exemplos de campos

Números racionais ((mathbb{Q}))

O conjunto de todos os números racionais, denotado por (mathbb{Q}), forma um campo. Números racionais são aqueles que podem ser expressos como uma fração de dois inteiros, onde o denominador não é zero.

Vamos observar as propriedades de campo usando números racionais:

  • Conclusão: A soma ou o produto de quaisquer dois números racionais também é um número racional.
  • Propriedades associativa, comutativa e distributiva: Estas são propriedades bem conhecidas da adição e multiplicação aplicadas aos números racionais.
  • Elemento identidade: A identidade aditiva é 0, e a identidade multiplicativa é 1.
  • Elemento inverso: Todo número racional tem um inverso aditivo (ou seja, (-a)) e todo número racional não nulo tem um inverso multiplicativo (ou seja, se (a neq 0), então (a^{-1}) existe).

Números reais ((mathbb{R}))

O conjunto de todos os números reais, denotado por (mathbb{R}), é outro exemplo de um campo. Os números reais incluem todos os números racionais e todos os números irracionais (números que não podem ser expressos como frações simples).

As propriedades de um campo se aplicam aos números reais assim como aos números racionais. Você pode verificar cada uma dessas propriedades testando diferentes números reais.

Números complexos ((mathbb{C}))

O conjunto de todos os números complexos, denotado por (mathbb{C}), também forma um campo. Um número complexo é definido como (a + bi), onde (a) e (b) são números reais, e (i) é uma unidade imaginária que possui a propriedade (i^2 = -1).

    (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)i
    (a + bi) cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Como em outros campos, você pode investigar fechamento, associatividade, comutatividade, elemento identidade, elemento inverso, e regras distributivas para números complexos.

Não exemplos de campos

Inteiros ((mathbb{Z}))

Embora pareça que os inteiros poderiam formar um campo, este não é o caso. Isso se deve ao fato de que nem todo inteiro não nulo tem um inverso multiplicativo dentro dos inteiros.

Por exemplo, considere o inteiro 2. Não há um inteiro (x) tal que satisfaça o seguinte:

    2 cdot x = 1

A solução (x = 0,5) não é um inteiro.

Exemplo visual de campos

O campo pode ser compreendido melhor visualizando as operações. Abaixo está uma visualização simples para adição e multiplicação no campo dos números reais.

A B A+B A B A*B

Nesta visualização, os pontos azuis, vermelhos e verdes representam números na linha dos números reais. A linha superior representa a operação de adição, onde os números são somados para formar um terceiro número no campo. A linha inferior representa a multiplicação dentro dos números reais.

Campos finitos

Um campo finito, também conhecido como campo de Galois, é um campo que possui um número finito de elementos. O exemplo mais comum de um campo finito é o grupo de inteiros (mathbb{Z}_p) que estão sob adição e multiplicação módulo um número primo (p).

Exemplo: (mathbb{Z}_5)

O conjunto (mathbb{Z}_5) contém os números {0, 1, 2, 3, 4}, que são somados e multiplicados com um módulo de 5. Abaixo, mostramos as tabelas de adição e multiplicação para (mathbb{Z}_5).

    Tabela de adição:
      + | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 1 2 3 4
      1 | 1 2 3 4 0
      2 | 2 3 4 0 1
      3 | 3 4 0 1 2
      4 | 4 0 1 2 3

    Tabela de multiplicação:
      × | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 0 0 0 0
      1 | 0 1 2 3 4
      2 | 0 2 4 1 3
      3 | 0 3 1 4 2
      4 | 0 4 3 2 1

Em (mathbb{Z}_5), todos os elementos não nulos têm um inverso multiplicativo, satisfazendo todas as propriedades de campo. Por exemplo, o inverso de 3 é 2 porque:

    3 cdot 2 equiv 6 equiv 1  (text{mod}  5)

Conclusão

Campos são a base das estruturas algébricas modernas, utilizados extensivamente em campos tão diversos quanto a teoria dos números, geometria algébrica e criptografia. Ao entender campos, você ganha insight sobre as simetrias e arranjos inerentes a vários sistemas matemáticos, permitindo explorar suas propriedades mais profundas em aplicações teóricas e práticas.


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