フィールド

数学の世界では、抽象代数学は代数系を形作る基本構造を深く掘り下げる強力なツールです。抽象代数学の重要な要素は「フィールド」という概念です。フィールドは、整数、有理数、実数、複素数など、普段使っている数系を理解するための興味深い構造です。

領域の基本定義

フィールドは、特定の性質を満たす加法と乗法という2つの二項演算を備えた集合です。これらの性質は次のとおりです。

1. 閉包性: フィールド (F) の任意の 2 つの要素 (a) および (b) について、
   • その和 (a + b) もまた (F) に含まれる。
   • その積 (a cdot b) もまた (F) に含まれる。
2. 結合法則:
   • 加法において: ((a + b) + c = a + (b + c))
   • 乗法において: ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
3. 交換法則:
   • 加法において: (a + b = b + a)
   • 乗法において: (a cdot b = b cdot a)
4. 単位元: (F) には2つの特別な要素があります。
   • 加法単位元: 全ての (a in F) について、(a + 0 = a) となる 0 という要素が存在する。
   • 乗法単位元: 全ての (a in F) について、(a cdot 1 = a) となる 1 という要素が存在する。ただし (0 neq 1) である。
5. 逆元: フィールドの全ての要素について、
   • 加法逆元: 全ての (a in F) について、(a + (-a) = 0) となる (-a) という要素が存在する。
   • 乗法逆元: (F) の全ての (a neq 0) について、(a cdot a^{-1} = 1) となる (a^{-1}) という要素が存在する。
6. 分配法則: 乗法は加法に対して分配する。

               A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C
           

フィールドの例

有理数 ((mathbb{Q}))

全ての有理数の集合は、(mathbb{Q}) と表され、フィールドを形成します。有理数は2つの整数の分数として表せる数で、分母はゼロではありません。

有理数を用いたフィールドの特性を見てみましょう。

• 閉包性: 任意の2つの有理数の和または積もまた有理数である。
• 結合、交換、分配の各法則: これらは有理数に適用される加法と乗法の周知の特性です。
• 単位元: 加法単位元は 0 、乗法単位元は 1 です。
• 逆元: 全ての有理数は加法逆元 ((-a)) を持ち、全ての非ゼロ有理数は乗法逆元 ((a neq 0 の場合、a^{-1}) が存在)を持ちます。

実数 ((mathbb{R}))

全ての実数の集合、(mathbb{R}) と表され、フィールドのもう一つの例です。実数は全ての有理数と全ての無理数（単純な分数で表せない数）を含みます。

フィールドの特性は有理数と同様に実数にも当てはまります。これらの特性を様々な実数を試して検証することができます。

複素数 ((mathbb{C}))

全ての複素数の集合、(mathbb{C}) もフィールドを形成します。複素数は、実数 (a) および (b) と虚数単位 (i) ((i^2 = -1)) を用いて (a + bi) と定義されます。

    (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)i
    (a + bi) cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

他のフィールドと同様に、閉包性、結合、交換、単位元、逆元、分配則について複素数を調査できます。

フィールドの非例

整数 ((mathbb{Z}))

整数はフィールドを形成すると思われるかもしれませんが、そうではありません。これは整数内の任意の非ゼロ整数が乗法逆元を持たないためです。

例えば、整数 2 を考えます。このようなものを満たす整数 (x) は存在しません。

    2 cdot x = 1

解 (x = 0.5) は整数ではありません。

フィールドの視覚的例

フィールドは操作を視覚化することでよりよく理解できます。以下は実数フィールドにおける加法と乗法の簡単な視覚化です。

この視覚化では、青、赤、緑の点が実数直線上の数を表しています。上側の数直線は加法の操作を表し、数がフィールド内で足し合わされて第三の数を形成します。下側の数直線は実数内での乗法を表します。

有限フィールド

有限フィールド、またはガロア体とも呼ばれるものは、有限個の要素を持つフィールドです。有限フィールドの最も一般的な例は、素数 (p) を法とした加法および乗法の下での整数 (mathbb{Z}_p) のグループです。

例: (mathbb{Z}_5)

集合 (mathbb{Z}_5) は {0, 1, 2, 3, 4} の数を持ち、5 の法で加算および乗算されます。以下に (mathbb{Z}_5) の加法および乗法表を示します。

    加法表:
      + | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 1 2 3 4
      1 | 1 2 3 4 0
      2 | 2 3 4 0 1
      3 | 3 4 0 1 2
      4 | 4 0 1 2 3

    乗法表:
      × | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 0 0 0 0
      1 | 0 1 2 3 4
      2 | 0 2 4 1 3
      3 | 0 3 1 4 2
      4 | 0 4 3 2 1

(mathbb{Z}_5) では、全ての非ゼロ要素が乗法逆元を持ち、全てのフィールド特性を満たします。例えば、3 の逆元は 2 です。

    3 cdot 2 equiv 6 equiv 1  (text{mod}  5)

結論

フィールドは現代の代数構造の基盤であり、数論、代数幾何学、暗号学などの様々な分野で広く使用されています。フィールドを理解することで、様々な数学系の対称性や配列に関する洞察を得ることができ、理論的および実用的な応用においてその深層特性を活用することができます。

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