फ़ील्ड

गणित की दुनिया में, ऐब्सट्रैक्ट एल्जेब्रा एक शक्तिशाली उपकरण है जो हमें उन मूलभूत संरचनाओं में गहराई से प्रवेश करने में मदद करता है जो बीजगणितीय प्रणालियों को आकार देती हैं। ऐब्सट्रैक्ट एल्जेब्रा का एक प्रमुख घटक "फ़ील्ड" की अवधारणा है। एक फ़ील्ड एक आकर्षक संरचना है जो हमें उन संख्या प्रणालियों की समझ को बढ़ाती है जिन्हें हम नियमित रूप से उपयोग करते हैं, जैसे पूर्णांक (integers), परिमेय संख्याएं (rational numbers), वास्तविक संख्याएं (real numbers), और कम्प्लेक्स संख्याएं (complex numbers)।

फ़ील्ड की मूल परिभाषा

एक फ़ील्ड एक सेट है जिसे दो द्विआधारी क्रियाओं के साथ सुसज्जित किया गया है, जिन्हें सामान्यतः योग (addition) और गुणा (multiplication) कहा जाता है, जो कि विशेष गुणधर्मों को संतुष्ट करती हैं। ये गुणधर्म हैं:

1. संविरुद्धता (Closure): फ़ील्ड (F) के किसी भी दो तत्व (a) और (b) के लिए:
   • उनका योग (a + b) भी (F) में होता है।
   • उनका गुणन (a cdot b) भी (F) में होता है।
2. सामूहिक गुण (Associative property):
   • योग के लिए: ((a + b) + c = a + (b + c))
   • गुणा के लिए: ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
3. परिवर्तनीय गुण (Commutative property):
   • योग के लिए: (a + b = b + a)
   • गुणा के लिए: (a cdot b = b cdot a)
4. पहचान तत्व (Identity element): (F) में दो विशेष तत्व होते हैं:
   • योगात्मक पहचान: एक तत्व 0 होता है ऐसा कि सभी (a in F) के लिए, (a + 0 = a)।
   • गुणात्मक पहचान: एक तत्व 1 होता है ऐसा कि सभी (a in F) के लिए, (a cdot 1 = a)। ध्यान दें कि (0 neq 1)।
5. विलोम तत्व (Inverse elements): फ़ील्ड के प्रत्येक तत्व के लिए:
   • योगात्मक विलोम: प्रत्येक (a in F) के लिए, एक तत्व (-a) होता है ऐसा कि (a + (-a) = 0)।
   • गुणात्मक विलोम: प्रत्येक (a neq 0) जो (F) में होता है, एक तत्व (a^{-1}) होता है ऐसा कि (a cdot a^{-1} = 1)।
6. वितरण गुण (Distributive property): गुणा, योग पर वितरित होता है:

               A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C
           

फ़ील्ड के उदाहरण

परिमेय संख्याएं ((mathbb{Q}))

सभी परिमेय संख्याओं का सेट, जिसे (mathbb{Q}) द्वारा निरूपित किया जाता है, एक फ़ील्ड बनाता है। परिमेय संख्याएं वे होती हैं जिन्हें दो पूर्णांकों के भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां हर संख्या जो कि परिमेय होती है (mathbb{Q}) में होती है।

आइए फ़ील्ड के गुणधर्म को परिमेय संख्याओं के साथ देखें:

• निष्कर्ष: किसी भी दो परिमेय संख्याओं का योग या गुणन भी परिमेय संख्या होती है।
• सामूहिक, परिवर्तनशील और वितरण गुण: ये योग और गुणा के परिमाण संख्याओं पर लागू होने वाले गुणधर्म हैं।
• पहचान तत्व: योगात्मक पहचान 0 है, और गुणात्मक पहचान 1 है।
• विलोम तत्व: हर परिमेय संख्या का एक योगात्मक विलोम होता है (जो कि (-a) है) और हर गैर-शून्य परिमेय संख्या का एक गुणात्मक विलोम होता है (जो कि यदि (a neq 0), तो (a^{-1}) मौजूद है)।

वास्तविक संख्याएं ((mathbb{R}))

सभी वास्तविक संख्याओं का सेट, जिसे (mathbb{R}) द्वारा निरूपित किया जाता है, फ़ील्ड का एक और उदाहरण है। वास्तविक संख्याएं सभी परिमेय संख्याओं और सभी अपरिमेय संख्याओं (संख्याएं जिन्हें सरल भिन्नों के रूप में नहीं व्यक्त किया जा सकता है) को शामिल करती हैं।

वास्तविक संख्याओं पर भी फ़ील्ड के गुणधर्म लागू होते हैं जैसा परिमाण संख्याओं पर होता है। आप विभिन्न वास्तविक संख्याओं का परीक्षण करके इनमें से प्रत्येक गुणधर्म को सत्यापित कर सकते हैं।

कम्प्लेक्स संख्याएं ((mathbb{C}))

सभी कम्प्लेक्स संख्याओं का सेट, जिसे (mathbb{C}) द्वारा निरूपित किया जाता है, भी एक फ़ील्ड बनाता है। एक कम्प्लेक्स संख्या को (a + bi) रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां (a) और (b) वास्तविक संख्याएं हैं, और (i) एक काल्पनिक इकाई होती है जिसमें (i^2 = -1) होता है।

    (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)i
    (a + bi) cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

अन्य फ़ील्ड्स की तरह, आप कम्प्लेक्स संख्याओं के लिए संविरुद्धता, सामूहिक, परिवर्तनशील, पहचान तत्व, विलोम तत्व और वितरण नियमों की जांच कर सकते हैं।

फ़ील्ड्स के गैर-उदाहरण

पूर्णांक ((mathbb{Z}))

हालांकि यह प्रतीत होता है कि पूर्णांक एक फ़ील्ड बना सकते हैं, ऐसा नहीं होता। इसका कारण यह है कि हर गैर-शून्य पूर्णांक के पास गुणात्मक विलोम नहीं होता पूर्णांकों के भीतर।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक 2 पर विचार करें। कोई ऐसा पूर्णांक (x) नहीं हो सकता है कि निम्नलिखित को संतुष्ट करे:

    2 cdot x = 1

उपाय (x = 0.5) एक पूर्णांक नहीं है।

फ़ील्ड्स का दृश्य उदाहरण

फ़ील्ड की प्रक्रिया को दृश्य रूप में समझने से हम इसे और अच्छे से समझ सकते हैं। नीचे वास्तविक संख्याओं के फ़ील्ड में जोड़ और गुणा के लिए एक सरल दृश्य उदाहरण दिया गया है।

इस दृश्य में, नीले, लाल, और हरे बिंदु वास्तविक संख्या पंक्ति पर संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। ऊपर की संख्या पंक्ति जोड़ प्रक्रिया को प्रस्तुत करती है, जहां संख्या जोड़कर फ़ील्ड में एक तीसरी संख्या बनाते हैं। नीचे की संख्या पंक्ति वास्तविक संख्याओं के भीतर गुणा को प्रस्तुत करती है।

सीमित फ़ील्ड्स

एक सीमित फ़ील्ड, जिसे गैल्वा फ़ील्ड भी कहा जाता है, एक फ़ील्ड है जिसमें सीमित संख्या में तत्व होते हैं। सीमित फ़ील्ड का सबसे सामान्य उदाहरण पूर्णांकों का समूह (mathbb{Z}_p) होता है जो कि एक प्रमुख संख्या (p) के मोड्यूल के तहत जोड़ और गुणा में होता है।

उदाहरण: (mathbb{Z}_5)

सेवध्दि (mathbb{Z}_5) संख्याएं {0, 1, 2, 3, 4} को शामिल करती हैं, जिन्हें 5 के मोड्यूल के तहत जोड़ा और गुणा किया जाता है। नीचे, हम (mathbb{Z}_5) के जोड़ और गुणा तालिकाएँ दिखाते हैं।

    जोड़ तालिका:
      + | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 1 2 3 4
      1 | 1 2 3 4 0
      2 | 2 3 4 0 1
      3 | 3 4 0 1 2
      4 | 4 0 1 2 3

    गुणा तालिका:
      × | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 0 0 0 0
      1 | 0 1 2 3 4
      2 | 0 2 4 1 3
      3 | 0 3 1 4 2
      4 | 0 4 3 2 1

(mathbb{Z}_5) में, हर गैर-शून्य तत्व का एक गुणात्मक विलोम होता है, जो कि सभी फ़ील्ड गुणधर्मों को संतोषजनक बनाता है। उदाहरण के लिए, 3 का विलोम 2 होता है क्योंकि:

    3 cdot 2 equiv 6 equiv 1  (text{mod}  5)

निष्कर्ष

फ़ील्ड आधुनिक एल्जेब्रिक संरचनाओं का कोना-कोना है, जो व्यापक रूप से संख्याओं के सिद्धांत, ऐब्स्टैक्ट गणितीय ज्यामिति, और क्रिप्टोग्राफी में उपयोग की जाती हैं। फ़ील्ड का अध्ययन करके, आप विभिन्न गणितीय प्रणालियों में अंतर्निहित समरूपताओं और व्यवस्थाओं में अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं, जिससे आप उनके गहरे गुणधर्मों का उपयोग कर सकते हैं, चाहे वे सैद्धांतिक हों या व्यावहारिक अनुप्रयोग।

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