Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Campo


En el mundo de las matemáticas, el álgebra abstracta es una herramienta poderosa que nos ayuda a profundizar en las estructuras fundamentales que configuran los sistemas algebraicos. Un componente clave del álgebra abstracta es el concepto de "campo". Un campo es una estructura fascinante que amplía nuestra comprensión de los sistemas numéricos que usamos regularmente, como enteros, números racionales, números reales y números complejos.

Definición básica del área

Un campo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias, comúnmente referidas como suma y multiplicación, que satisfacen propiedades específicas. Estas propiedades son:

  1. Cierre: Para dos elementos cualesquiera (a) y (b) en un campo (F):
    • Su suma (a + b) también está en (F).
    • Su producto (a cdot b) también está en (F).
  2. Propiedad asociativa:
    • Para la suma: ((a + b) + c = a + (b + c))
    • Para la multiplicación: ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))
  3. Propiedad conmutativa:
    • Para la suma: (a + b = b + a)
    • Para la multiplicación: (a cdot b = b cdot a)
  4. Elemento identidad: Hay dos elementos especiales en (F):
    • Identidad aditiva: Existe un elemento 0 tal que para todo (a in F), (a + 0 = a).
    • Identidad multiplicativa: Existe un elemento 1 tal que para todo (a in F), (a cdot 1 = a). Note que (0 neq 1).
  5. Elementos inversos: Para cada elemento del campo:
    • Inverso aditivo: Para cada (a in F), existe un elemento (-a) tal que (a + (-a) = 0).
    • Inverso multiplicativo: Para cada (a neq 0) en (F), existe un elemento (a^{-1}) tal que (a cdot a^{-1} = 1).
  6. Propiedad distributiva: La multiplicación se distribuye sobre la suma: 
                A cdot (B + C) = A cdot B + A cdot C

Ejemplos de campos

Números racionales ((mathbb{Q}))

El conjunto de todos los números racionales, denotado como (mathbb{Q}), forma un campo. Los números racionales son aquellos que pueden expresarse como una fracción de dos enteros, donde el denominador no es cero.

Veamos las propiedades del campo usando números racionales:

  • Conclusión: La suma o el producto de dos números racionales también es un número racional.
  • Propiedades asociativa, conmutativa y distributiva: Estas son propiedades bien conocidas de la suma y la multiplicación aplicadas a los números racionales.
  • Elemento identidad: La identidad aditiva es 0 y la identidad multiplicativa es 1.
  • Elemento inverso: Cada número racional tiene un inverso aditivo (es decir, (-a)) y cada número racional no nulo tiene un inverso multiplicativo (es decir, si (a neq 0), entonces (a^{-1}) existe).

Números reales ((mathbb{R}))

El conjunto de todos los números reales, denotado por (mathbb{R}), es otro ejemplo de campo. Los números reales incluyen todos los números racionales y todos los números irracionales (números que no se pueden expresar como fracciones simples).

Las propiedades de un campo se aplican a los números reales tal como lo hacen a los números racionales. Puedes verificar cada una de estas propiedades al probar diferentes números reales.

Números complejos ((mathbb{C}))

El conjunto de todos los números complejos, denotado por (mathbb{C}), también forma un campo. Un número complejo se define como (a + bi), donde (a) y (b) son números reales, y (i) es una unidad imaginaria que tiene la propiedad (i^2 = -1).

    (a + b) + (c + d) = (a + c) + (b + d)i
    (a + bi) cdot (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

Como en otros campos, se pueden investigar la clausura, la asociatividad, la conmutatividad, el elemento identidad, el elemento inverso y las reglas distributivas para los números complejos.

No ejemplos de campos

Enteros ((mathbb{Z}))

Aunque podría parecer que los enteros podrían formar un campo, este no es el caso. Esto se debe a que no todos los enteros no nulos tienen un inverso multiplicativo dentro de los enteros.

Por ejemplo, considera el entero 2. No hay ningún entero (x) que satisfaga lo siguiente:

    2 cdot x = 1

La solución (x = 0.5) no es un entero.

Ejemplo visual de campos

El campo se puede entender mejor visualizando la operación. A continuación, se muestra una simple visualización para la suma y la multiplicación en el campo de los números reales.

A B A+B A B A*B

En esta visualización, los puntos azul, rojo y verde representan números en la línea de números reales. La línea numérica superior representa la operación de suma, donde los números se suman para formar un tercer número en el campo. La línea numérica inferior representa la multiplicación dentro de los números reales.

Campos finitos

Un campo finito, también conocido como campo de Galois, es un campo que tiene un número finito de elementos. El ejemplo más común de un campo finito es el grupo de enteros (mathbb{Z}_p) que están bajo suma y multiplicación módulo un número primo (p).

Ejemplo: (mathbb{Z}_5)

El conjunto (mathbb{Z}_5) contiene los números {0, 1, 2, 3, 4}, que se suman y multiplican mediante un módulo de 5. A continuación, mostramos las tablas de suma y multiplicación para (mathbb{Z}_5).

    Tabla de suma:
      + | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 1 2 3 4
      1 | 1 2 3 4 0
      2 | 2 3 4 0 1
      3 | 3 4 0 1 2
      4 | 4 0 1 2 3

    Tabla de multiplicación:
      × | 0 1 2 3 4
      ,
      0 | 0 0 0 0 0
      1 | 0 1 2 3 4
      2 | 0 2 4 1 3
      3 | 0 3 1 4 2
      4 | 0 4 3 2 1

En (mathbb{Z}_5), cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo, que satisface todas las propiedades del campo. Por ejemplo, el inverso de 3 es 2 porque:

    3 cdot 2 equiv 6 equiv 1  (text{mod}  5)

Conclusión

Los campos son la piedra angular de las estructuras algebraicas modernas, utilizadas extensamente en campos tan diversos como la teoría de números, la geometría algebraica y la criptografía. Al comprender los campos, obtienes una visión de las simetrías y arreglos inherentes a varios sistemas matemáticos, lo que te permite explotar sus propiedades más profundas tanto en aplicaciones teóricas como prácticas.


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