抽象代数中的环简介

抽象代数是研究代数结构（如群、环和域）的一门数学领域。在本文中，我们将深入研究其中一个重要的结构，称为环。了解环非常重要，因为它们是导致数学和科学工程应用的基础概念。

什么是环？

环是一个集合，具备我们可以认为是加法和乘法的两个二元运算。这些运算必须满足某些属性，以推广我们熟悉的算术。正式定义如下：

一个环 (R) 是一个集合，具备两个二元运算 (+)（称为加法）和 (cdot)（称为乘法），满足以下公理：

• (R,+) 是一个阿贝尔群，这意味着：
  • 闭合性： 对于所有 (a, b in R)，有 (a + b in R)。
  • 结合性： 对于所有 (a, b, c in R)，有 ((a + b) + c = a + (b + c))。
  • 单位元素：存在一个元素 (0 in R)，使得对于所有 (a in R)，都有 (a + 0 = a)。
  • 逆元素： 对于每个 (a in R)，存在 (-a in R)，使得 (a + (-a) = 0)。
  • 交换性： 对于所有 (a, b in R)，有 (a + b = b + a)。
• (R, (cdot)) 是一个半群，这意味着：
  • 闭合性： 对于所有 (a, b in R)，有 (a cdot b in R)。
  • 结合性： 对于所有 (a, b, c in R)，有 ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。
• 分配律： 乘法对加法具有分配性。
  • 对于所有 (a, b, c in R)，有 (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c)。
  • 对于所有 (a, b, c in R)，有 ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c)。

环的例子

1. 整数集：

整数集 (mathbb{Z}) 通过通常的加法和乘法操作形成一个环。让我们看看为什么：

• 闭合性： 任意两个整数相加或相乘总会得到另一个整数。
• 结合性： 整数的加法和乘法都是结合的。
• 加法单位元： 整数 0 是加法的单位元。
• 加法逆元： 对于每个整数 (a)，存在整数 (-a)，使得 (a + (-a) = 0)。
• 交换性： 整数加法是交换的，即 (a + b = b + a)。
• 分配律： 乘法对加法具有分配性，即 (a(b + c) = ab + ac)。

2. 矩阵环：

考虑具有实数作为元素的所有 (n times n) 矩阵的集合。该集合在矩阵加法和乘法下形成一个环。让我们来验证一下：

• 闭合性： 任何两个 (n times n) 矩阵的和或积仍然是另一个 (n times n) 矩阵。
• 结合性： 矩阵加法和乘法都是结合的。
• 加法单位元： 零矩阵，所有元素为零，作为加法单位元。
• 加法逆元： 对于任意矩阵 (A)，它的逆矩阵 (-A) 可以通过取 (A) 中每个元素的相反数得到，使 (A + (-A)) 为零矩阵。
• 分配律： 矩阵乘法对于矩阵加法而言是分配的。

环的性质和类型

1. 可交换环：

如果一个环的乘法是可交换的，则称为可交换环，即对于任何 (a, b in R)，有 (a cdot b = b cdot a)。例如，整数环 (mathbb{Z}) 是可交换的。

2. 含单位元的环：

含有元素 (1 in R) 的环（或单位环）使得对于任何 (a in R)，有 (a cdot 1 = a) 且 (1 cdot a = a)。整数集 (mathbb{Z}) 是一个含单位元的环。

3. 零因子：

在一个环中，如果元素 (a) 满足存在非零元素 (b) 使得 (a cdot b = 0)，则称 (a) 为零因子。例如，在 (2 times 2) 矩阵的环中，某些元素具有零因子。

4. 整环：

整环是一个包含单位元且没有零因子的可交换环。整数环 (mathbb{Z}) 是整环的一个例子。

5. 除环：

除环（或斜域）是一个环，其中每个非零元素都有乘法逆元。注意，在除环中，乘法不必是可交换的。非零实数集在乘法下构成一个除环。

查看环运算

让我们使用简单的数轴来看一些环内的基本运算。

这里，(0) 代表加法单位元（绿色点），(2) 代表环中的一个随机正元素（红色点）。

求和例子：

如果我们加 (2) 和 (3)，我们沿数轴从 (2) 向右移动。因此，

2 + 3 = 5

这里，(5) 是环中的另一个元素，表示在右边的点。

乘法例子：

考虑乘法，如果我们选择乘 (2) 和 (3)，我们将 '加' (2) 重复三次：

2 cdot 3 = 6

乘积 (6) 如果延伸表示数轴上的另一个点，仍然在整数集中。

理解理想类型

1. 左理想：

如果环 (R) 的一个子集 (I) 满足以下条件，则称其为左理想：

• ((I, +)) 是 ((R, +)) 的一个子群。
• 对于每个 (r in R) 和每个 (x in I)，有 (r cdot x in I)。

2. 右理想：

同样，如果满足以下条件，则 (I) 是一个完美理想：

• ((I, +)) 是 ((R, +)) 的一个子群。
• 对于每个 (r in R) 和每个 (x in I)，有 (x cdot r in I)。

3. 双向模型：

如果一个子集 (I) 既是左理想又是右理想，则称其为双向理想。因此，它满足：

• ((I, +)) 是 ((R, +)) 的一个子群。
• 对于每个 (r in R) 和每个 (x in I)，有 (r cdot x in I) 和 (x cdot r in I)。

总结

在这个环的介绍中，我们讨论了抽象代数中环的定义、性质和一些例子。环在数学内部和外部的各种领域都很重要。从构成我们数字理解基础的整数到模拟复杂系统的矩阵环，它们的应用非常广泛。

通过了解环的基础知识，您可以为探索更高级的主题（如模、域及其延伸）做好准备。

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