Введение в кольца в абстрактной алгебре

Абстрактная алгебра - это область математики, изучающая алгебраические структуры, такие как группы, кольца и поля. В этой статье мы подробно рассмотрим одну из этих важных структур, называемую кольцами. Кольца важно понимать, потому что это фундаментальные концепции, которые приводят ко многим другим областям математики и имеют приложения в науке и технике.

Что такое кольцо?

Кольцо - это множество, снабженное двумя бинарными операциями, которые можно назвать сложением и умножением. Эти операции должны удовлетворять определенным свойствам, которые обобщают арифметику, с которой мы знакомы. Формальное определение следующее:

Кольцо (R) - это множество, снабженное двумя бинарными операциями (+) (называемой сложением) и (cdot) (называемой умножением), удовлетворяющими следующим аксиомам:

• (R,+) является абелевой группой, что означает:
  • Замкнутость: для всех (a, b in R), (a + b in R).
  • Ассоциативность: Для всех (a, b, c in R), ((a + b) + c = a + (b + c)).
  • Единичный элемент: Существует элемент (0 in R), такой что, для всех (a in R), (a + 0 = a).
  • Обратный элемент: Для каждого (a in R), существует (-a in R), такая что (a + (-a) = 0).
  • Коммутативность: Для всех (a, b in R), (a + b = b + a).
• (R, (cdot)) является полугруппой, что означает:
  • Замкнутость: Для всех (a, b in R), (a cdot b in R).
  • Ассоциативность: Для всех (a, b, c in R), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)).
• Дистрибутивный закон: Умножение дистрибутивно относительно сложения.
  • Для всех (a, b, c in R), (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c).
  • Для всех (a, b, c in R), ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c).

Примеры колец

1. Множество целых чисел:

Множество целых чисел (mathbb{Z}) образует кольцо с обычными операциями сложения и умножения. Давайте посмотрим почему:

• Замкнутость: Сложение или умножение любых двух целых чисел всегда дает другое целое число.
• Ассоциативность: Сложение и умножение целых чисел ассоциативны.
• Единичный элемент сложения: Целое число 0 служит единичным элементом для сложения.
• Противоположный элемент: Для каждого целого числа (a) существует целое число (-a), такое что (a + (-a) = 0).
• Коммутативность: Сложение целых чисел коммутативно, то есть (a + b = b + a).
• Дистрибутивный закон: Умножение распределяется по сложению, то есть (a(b + c) = ab + ac).

2. Матрицы:

Рассмотрим множество всех (n times n) матриц с вещественными числами в качестве элементов. Это множество образует кольцо при сложении и умножении матриц. Давайте проверим это:

• Замкнутость: Сумма или произведение любых двух (n times n) матриц - это другая (n times n) матрица.
• Ассоциативность: Сложение и умножение матриц ассоциативны.
• Единичный элемент сложения: Нулевая матрица, в которой все элементы равны нулю, служит единичным элементом.
• Оборотный элемент сложения: Для любой матрицы (A), её обратная (-A) получена путем взятия отрицательного значения каждого элемента в (A), и дает (A + (-A)) нулевую матрицу.
• Дистрибутивный закон: Умножение матриц распределяется по сложению матриц.

Свойства и типы колец

1. Перестановочные кольца:

Кольцо является коммутативным, если его умножение коммутативно, то есть для любых (a, b in R), (a cdot b = b cdot a). Например, кольцо целых чисел (mathbb{Z}) является коммутативным.

2. Кольца с единицей:

Кольцо с единицей (или кольцо с идентичностью) имеет элемент (1 in R), такой что для любого (a in R), (a cdot 1 = a) и (1 cdot a = a). Множество целых чисел (mathbb{Z}) является кольцом с единицей.

3. Нулевой делитель:

В кольце элемент (a), не равный нулю, называется нулевым делителем, если существует элемент (b), не равный нулю, такой что (a cdot b = 0). Например, в кольце (2 times 2) матриц есть нулевые делители.

4. Целостное кольцо:

Целостное кольцо - это коммутативное кольцо, содержащее единицу и не имеющее нулевых делителей. Кольцо целых чисел (mathbb{Z}) является примером целостного кольца.

5. Поле:

Поле (или косое поле) - это кольцо, в котором каждый ненулевой элемент имеет мультипликативный обратный. Обратите внимание, что умножение в поле не обязательно коммутативно. Множество ненулевых вещественных чисел при умножении образует поле.

Просмотр операций с кольцами

Давайте рассмотрим основные операции внутри кольца, используя простую числовую линию.

Здесь (0) представляет аддитивную единицу (зеленая точка), а (2) представляет случайный положительный элемент в нашем кольце (красная точка).

Пример сложения:

Если мы сложим (2) и (3), то переместимся вправо на числовой линии, начиная с (2). Таким образом,

2 + 3 = 5

Здесь, (5) является другим элементом в нашем кольце, представленным на крайней правой точке.

Примеры умножения:

Рассматривая умножение, если мы выбираем умножить (2) и (3), мы повторяем процесс 'сложения' (2) трижды:

2 cdot 3 = 6

Произведение (6) если расширить это еще одна точка на числовой линии, оставаясь в пределах множества целых чисел.

Понимание типов идеалов

1. Левый идеал:

Подмножество (I) кольца (R) называется левым идеалом, если оно удовлетворяет следующим условиям:

• ((I, +)) является подгруппой ((R, +)).
• Для каждого (r in R) и каждого (x in I), (r cdot x in I).

2. Правый идеал:

Аналогично, (I) является правым идеалом, если:

• ((I, +)) является подгруппой ((R, +)).
• Для каждого (r in R) и каждого (x in I), (x cdot r in I).

3. Двусторонний идеал:

Подмножество (I) является двусторонним идеалом, если оно является и левым, и правым идеалом. Следовательно, оно удовлетворяет:

• ((I, +)) является подгруппой ((R, +)).
• Для каждого (r in R) и каждого (x in I), (r cdot x in I) и (x cdot r in I).

Заключение

В этом введении в кольца мы обсудили определения, свойства и некоторые примеры колец в абстрактной алгебре. Кольца важны в различных областях внутри и вне математики. От целых чисел, которые формируют основу нашего понимания чисел, до матриц, которые моделируют сложные системы, их приложения многочисленны.

Понимание основ колец важно для исследования более сложных тем, таких как модули, поля и многое другое.

комментарии