Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Introdução aos anéis na álgebra abstrata


A álgebra abstrata é um campo da matemática que estuda estruturas algébricas como grupos, anéis e campos. Neste artigo, vamos olhar mais profundamente para uma dessas importantes estruturas chamadas anéis. Os anéis são importantes de entender porque são conceitos fundamentais que levam a muitas outras áreas da matemática e têm aplicações em ciência e engenharia.

O que é um anel?

Um anel é um conjunto equipado com duas operações binárias que podemos pensar como adição e multiplicação. Essas operações devem satisfazer certas propriedades que generalizam a aritmética com a qual estamos familiarizados. A definição formal é a seguinte:

Um anel (R) é um conjunto equipado com duas operações binárias (+) (chamada adição) e (cdot) (chamada multiplicação) que satisfazem os seguintes axiomas:

  • (R, +) é um grupo abeliano, o que significa:
    • Fechamento: para todos (a, b in R), (a + b in R).
    • Associatividade: Para todos (a, b, c in R), ((a + b) + c = a + (b + c)).
    • Elemento identidade: Existe um elemento (0 in R) tal que, para todo (a in R), (a + 0 = a).
    • Elemento inverso: Para cada (a in R), existe (-a in R) tal que (a + (-a) = 0).
    • Comutatividade: Para todos (a, b in R), (a + b = b + a).
  • (R, (cdot)) é um semigrupo, o que significa:
    • Fechamento: Para todos (a, b in R), (a cdot b in R).
    • Associatividade: Para todos (a, b, c in R), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)).
  • Lei Distributiva: A multiplicação é distributiva em relação à adição.
    • Para todos (a, b, c in R), (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c).
    • Para todos (a, b, c in R), ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c).

Exemplos de anéis

1. Conjunto de inteiros:

O conjunto de inteiros (mathbb{Z}) forma um anel com as operações usuais de adição e multiplicação. Vamos ver por quê:

  • Fechamento: Somar ou multiplicar quaisquer dois inteiros sempre dará outro inteiro.
  • Associatividade: A adição e multiplicação de inteiros são ambas associativas.
  • Identidade aditiva: O inteiro 0 serve como a identidade para a adição.
  • Inverso Aditivo: Para cada inteiro (a), existe um inteiro (-a) tal que (a + (-a) = 0).
  • Comutatividade: A adição de inteiros é comutativa, ou seja, (a + b = b + a).
  • Lei Distributiva: A multiplicação distribui sobre a adição, ou seja, (a(b + c) = ab + ac).
0 1 -1

2. Anéis de Matrizes:

Considere o conjunto de todas as matrizes (n times n) tendo números reais como entradas. Este conjunto forma um anel sob adição e multiplicação de matrizes. Vamos verificar isso:

  • Fechamento: A soma ou produto de quaisquer duas matrizes (n times n) é outra matriz (n times n).
  • Associatividade: A adição e multiplicação de matrizes são ambas associativas.
  • Identidade aditiva: A matriz nula, onde todas as entradas são zero, serve como identidade aditiva.
  • Inverso Aditivo: Para qualquer matriz (A), seu inverso (-A) é obtido ao se tomar o negativo de cada entrada em (A), dando (A + (-A)) a matriz nula.
  • Lei Distributiva: A multiplicação de matrizes distribui sobre a adição de matrizes.

Propriedades e tipos de anéis

1. Anéis intercambiáveis:

Um anel é comutativo se sua multiplicação for comutativa, ou seja, para qualquer (a, b in R), (a cdot b = b cdot a). Por exemplo, o anel dos inteiros (mathbb{Z}) é comutativo.

2. Anéis com unidade:

Um anel unitário (ou anel com identidade) tem um elemento (1 in R) tal que para qualquer (a in R), (a cdot 1 = a) e (1 cdot a = a). O conjunto dos inteiros (mathbb{Z}) é um anel unitário.

3. Divisor zero:

Em um anel, um elemento não zero (a) é chamado de divisor zero se existir um elemento não zero (b) tal que (a cdot b = 0). Por exemplo, no anel de matrizes (2 times 2), há divisores zero.

4. Domínio integral:

Um domínio integral é um anel comutativo que contém unidade e não possui divisores zero. O anel dos inteiros (mathbb{Z}) é um exemplo de domínio integral.

5. Anel de divisão:

Um anel de divisão (ou campo não comutativo) é um anel no qual cada elemento não zero possui um inverso multiplicativo. Note que a multiplicação em um anel de divisão não precisa ser comutativa. O conjunto dos números reais não zero sob multiplicação forma um anel de divisão.

Visualizando a operação de anel

Vamos olhar para algumas operações básicas dentro do anel usando uma linha numérica simples.

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Aqui, (0) representa a identidade aditiva (ponto verde), e (2) representa um elemento positivo aleatório em nosso anel (ponto vermelho).

Exemplo de soma:

Se somarmos (2) e (3), movemos para a direita na linha numérica começando de (2). Portanto,

2 + 3 = 5

Aqui, (5) é outro elemento em nosso anel, representado no ponto mais à direita.

Exemplos de multiplicação:

Considerando a multiplicação, se escolhermos multiplicar (2) e (3), repetimos o processo de 'somar' (2) um total de três vezes:

2 cdot 3 = 6

O produto (6), se estendido, é outro ponto na linha numérica que permanece dentro do conjunto dos inteiros.

Compreendendo os tipos de ideais

1. Ideal à esquerda:

Um subconjunto (I) de um anel (R) é chamado de ideal à esquerda se satisfizer as seguintes condições:

  • ((I, +)) é um subgrupo de ((R, +)).
  • Para todo (r in R) e todo (x in I), (r cdot x in I).

2. Ideal à direita:

Similarmente, (I) é um ideal perfeito se:

  • ((I, +)) é um subgrupo de ((R, +)).
  • Para todo (r in R) e todo (x in I), (x cdot r in I).

3. Modelo bidirecional:

Um subconjunto (I) é um ideal bipartido se for tanto um ideal à esquerda quanto um ideal à direita. Portanto, ele satisfaz:

  • ((I, +)) é um subgrupo de ((R, +)).
  • Para todo (r in R) e todo (x in I), (r cdot x in I) e (x cdot r in I).

Conclusão

Nesta introdução aos anéis, discutimos as definições, propriedades e alguns exemplos de anéis na álgebra abstrata. Os anéis são importantes em várias áreas dentro e fora da matemática. Desde os inteiros que formam a base de nossa compreensão sobre números até os anéis de matrizes que modelam sistemas complexos, suas aplicações são numerosas.

Ao entender os fundamentos dos anéis, você pode se equipar com as ferramentas para explorar tópicos mais avançados, como módulos, campos e além.


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