抽象代数学における環の紹介

抽象代数学は、群、環、体のような代数的構造を研究する数学の分野です。本記事では、これらの重要な構造の一つである環について詳しく見ていきます。環は、それが多くの他の数学の領域に繋がる基本的な概念であり、科学や工学における応用があるため、理解することが重要です。

環とは何か？

環は、加算と乗算と考えられる2つの二項演算が備わった集合です。これらの演算は、我々が慣れ親しんでいる算術を一般化する特定の性質を満たさなければなりません。正式な定義は以下の通りです:

環 (R) は、2つの二項演算 (+)（加算と呼ぶ）と (cdot)（乗算と呼ぶ）が備わった集合であり、以下の公理を満たします:

• (R,+) はアーベル群である、つまり:
  • 閉包性: すべての (a, b in R) について、(a + b in R)。
  • 結合法則: すべての (a, b, c in R) について、((a + b) + c = a + (b + c))。
  • 単位元: ある元 (0 in R) が存在し、すべての (a in R) について、(a + 0 = a)。
  • 逆元: すべての (a in R) に対して、(-a in R) が存在し (a + (-a) = 0)。
  • 可換律: すべての (a, b in R) について、(a + b = b + a)。
• (R, (cdot)) は半群である、つまり:
  • 閉包性: すべての (a, b in R) について、(a cdot b in R)。
  • 結合法則: すべての (a, b, c in R) について、((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c))。
• 分配法則: 乗算は加算に対して分配的である。
  • すべての (a, b, c in R) について、(a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c)。
  • すべての (a, b, c in R) について、((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c)。

環の例

1. 整数の集合:

整数の集合 (mathbb{Z}) は、通常の加算と乗算の演算で環を形成します。それがなぜか見てみましょう:

• 閉包性: 任意の2つの整数を加算または乗算すると、常に別の整数が得られます。
• 結合法則: 整数の加算および乗算はどちらも結合的です。
• 加法単位元: 整数0は加算の単位元です。
• 加法逆元: 任意の整数 (a) には、整数 (-a) が存在して (a + (-a) = 0) となります。
• 可換律: 整数の加算は可換的で、すなわち (a + b = b + a) です。
• 分配法則: 乗算は加算に対して分配的で、すなわち (a(b + c) = ab + ac) です。

2. 行列環:

実数を成分とするすべての (n times n) 行列の集合を考えます。この集合は、行列の加算および乗算の下で環を形成します。これを検証してみましょう:

• 閉包性: 任意の2つの (n times n) 行列の和または積は、別の (n times n) 行列です。
• 結合法則: 行列の加算および乗算はどちらも結合的です。
• 加法単位元: すべての成分がゼロのゼロ行列は加法単位元です。
• 加法逆元: 任意の行列 (A) に対し、その逆 (-A) は (A) の各成分の負をとり、(A + (-A)) はゼロ行列となります。
• 分配法則: 行列の乗算は行列の加算に対して分配的です。

環の性質と種類

1. 可換環:

環はその乗算が可換的であるとき可換であるといいます。すなわち任意の (a, b in R) に対し、(a cdot b = b cdot a)。例として、整数の環 (mathbb{Z}) は可換です。

2. 単位元を持つ環:

単位環（または単位元を持つ環）は、ある元 (1 in R) が存在し、任意の (a in R) に対して (a cdot 1 = a) および (1 cdot a = a) が成り立ちます。整数の集合 (mathbb{Z}) は単位環です。

3. ゼロ因子:

環において、ゼロでない元 (a) は、ゼロでない元 (b) が存在して (a cdot b = 0) となるときゼロ因子と呼ばれます。例として、(2 times 2) 行列の環にはゼロ因子があります。

4. 整域:

整域は、単位元を含み、ゼロ因子を持たない可換環です。整数の環 (mathbb{Z}) は整域の例です。

5. 割環:

割環（またはスキュー体）は、非ゼロの任意の元が乗法的逆元を持つ環です。割環における乗算は必ずしも可換である必要はありません。非ゼロの実数の集合は乗算の下で割環を形成します。

環の演算の観察

簡単な数直線を使って、環内での基本的な演算を見てみましょう。

ここで、(0) は加法単位元（緑の点）を表し、(2) は環内のランダムな正の要素を表しています（赤の点）。

加算の例:

もし (2) と (3) を加算する場合、数直線上で (2) から右に移動します。従って、

2 + 3 = 5

ここで、(5) は環の中のもう一つの要素で、右端の点に表されています。

乗算の例:

乗算を考慮して (2) と (3) を乗算する場合、'加算'を3回繰り返します:

2 cdot 3 = 6

この積 (6) は拡張すると、整数集合内にとどまる数直線上の別の点です。

イデアルの種類の理解

1. 左イデアル:

環 (R) の部分集合 (I) は以下の条件を満たすとき左イデアルと呼ばれます:

• ((I, +)) は ((R, +)) の部分群である。
• 任意の (r in R) および (x in I) に対して、(r cdot x in I)。

2. 右イデアル:

同様に、(I) は完全イデアルである場合：

• ((I, +)) は ((R, +)) の部分群である。
• 任意の (r in R) および (x in I) に対して、(x cdot r in I)。

3. 双方向モデル:

部分集合 (I) は、左イデアルであると同時に右イデアルであるとき、二分イデアルといいます。したがって、以下を満たします：

• ((I, +)) は ((R, +)) の部分群である。
• 任意の (r in R) および (x in I) に対して、(r cdot x in I) および (x cdot r in I)。

結論

この環の紹介では、抽象代数学における環の定義、性質、いくつかの例について議論しました。環は数学の内外において多くの分野で重要です。数の理解の基礎を形成する整数から、複雑なシステムをモデル化する行列環に至るまで、その応用は多岐にわたっています。

環の基礎を理解することで、モジュールや体、さらにはその先へと進むためのツールを身につけることができます。

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