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Introducción a los anillos en álgebra abstracta


El álgebra abstracta es un campo de las matemáticas que estudia estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos. En este artículo, examinaremos detenidamente una de estas estructuras importantes llamada anillos. Los anillos son importantes de entender porque son conceptos fundamentales que conducen a muchas otras áreas de las matemáticas y tienen aplicaciones en ciencia e ingeniería.

¿Qué es un anillo?

Un anillo es un conjunto equipado con dos operaciones binarias que podemos pensar como adición y multiplicación. Estas operaciones deben satisfacer ciertas propiedades que generalizan la aritmética con la que estamos familiarizados. La definición formal es la siguiente:

Un anillo (R) es un conjunto equipado con dos operaciones binarias (+) (llamada adición) y (cdot) (llamada multiplicación) que satisfacen los siguientes axiomas:

  • (R,+) es un grupo abeliano, lo que significa:
    • Cierre: para todo (a, b in R), (a + b in R).
    • Asociatividad: Para todo (a, b, c in R), ((a + b) + c = a + (b + c)).
    • Elemento identidad: Existe un elemento (0 in R) tal que, para todo (a in R), (a + 0 = a).
    • Elemento inverso: Para cada (a in R), existe (-a in R) tal que (a + (-a) = 0).
    • Conmutatividad: Para todo (a, b in R), (a + b = b + a).
  • (R, (cdot)) es un semigrupo, lo que significa:
    • Cierre: Para todo (a, b in R), (a cdot b in R).
    • Asociatividad: Para todo (a, b, c in R), ((a cdot b) cdot c = a cdot (b cdot c)).
  • Ley distributiva: La multiplicación es distributiva sobre la adición.
    • Para todo (a, b, c in R), (a cdot (b + c) = a cdot b + a cdot c).
    • Para todo (a, b, c in R), ((a + b) cdot c = a cdot c + b cdot c).

Ejemplos de anillos

1. Conjunto de enteros:

El conjunto de enteros (mathbb{Z}) forma un anillo con las operaciones usuales de adición y multiplicación. Veamos por qué:

  • Cierre: Sumar o multiplicar cualquier dos enteros siempre dará otro entero.
  • Asociatividad: La adición y multiplicación de enteros son ambas asociativas.
  • Identidad aditiva: El entero 0 sirve como identidad para la adición.
  • Inverso aditivo: Para cada entero (a) existe un entero (-a) tal que (a + (-a) = 0).
  • Conmutatividad: La adición entera es conmutativa, es decir, (a + b = b + a).
  • Ley distributiva: La multiplicación distribuye sobre la adición, es decir, (a(b + c) = ab + ac).
0 1 -1

2. Anillos de matrices:

Consideremos el conjunto de todas las matrices de (n times n) que tienen números reales como entradas. Este conjunto forma un anillo bajo la suma y multiplicación de matrices. Verifiquemos esto:

  • Cierre: La suma o producto de cualquier dos matrices de (n times n) es otra matriz de (n times n).
  • Asociatividad: La suma y multiplicación de matrices son ambas asociativas.
  • Identidad aditiva: La matriz cero, donde todas las entradas son cero, sirve como la identidad aditiva.
  • Inverso aditivo: Para cualquier matriz (A), su inverso (-A) se obtiene al tomar el negativo de cada entrada en (A), dando (A + (-A)) la matriz cero.
  • Ley distributiva: La multiplicación de matrices distribuye sobre la suma de matrices.

Propiedades y tipos de anillos

1. Anillos conmutativos:

Un anillo es conmutativo si su multiplicación es conmutativa, es decir, para cualquier (a, b in R), (a cdot b = b cdot a). Por ejemplo, el anillo de enteros (mathbb{Z}) es conmutativo.

2. Anillos con unidad:

Un anillo con unidad (o anillo con identidad) tiene un elemento (1 in R) tal que para cualquier (a in R), (a cdot 1 = a) y (1 cdot a = a). El conjunto de enteros (mathbb{Z}) es un anillo con unidad.

3. Divisor de cero:

En un anillo, un elemento no nulo (a) se llama divisor de cero si existe un elemento no nulo (b) tal que (a cdot b = 0). Por ejemplo, en el anillo de matrices de (2 times 2), a tiene divisores de cero.

4. Dominio integral:

Un dominio integral es un anillo conmutativo que contiene unidad y no tiene divisores de cero. El anillo de enteros (mathbb{Z}) es un ejemplo de un dominio integral.

5. Anillo de división:

Un anillo de división (o cuerpo no conmutativo) es un anillo en el que cada elemento no nulo tiene un inverso multiplicativo. Cabe destacar que la multiplicación en un anillo de división no tiene por qué ser conmutativa. El conjunto de números reales no nulos bajo multiplicación forma un anillo de división.

Ver operación de anillo

Echemos un vistazo a algunas operaciones básicas dentro del anillo usando una simple línea numérica.

-2 -1 0 1 2 3 4 5

Aquí, (0) representa la identidad aditiva (punto verde), y (2) representa un elemento positivo aleatorio en nuestro anillo (punto rojo).

Ejemplo de suma:

Si sumamos (2) y (3), nos movemos a la derecha en la línea numérica comenzando desde (2). Así,

2 + 3 = 5

Aquí, (5) es otro elemento en nuestro anillo, representado en el extremo derecho.

Ejemplos de multiplicación:

Considerando la multiplicación, si elegimos multiplicar (2) y (3), repetimos el proceso de 'sumar' (2) un total de tres veces:

2 cdot 3 = 6

El producto (6) si se extiende es otro punto en la línea numérica permaneciendo dentro del conjunto de enteros.

Entendiendo los tipos de ideales

1. Ideal izquierdo:

Un subconjunto (I) de un anillo (R) se llama ideal izquierdo si satisface las siguientes condiciones:

  • ((I, +)) es un subgrupo de ((R, +)).
  • Para cada (r in R) y cada (x in I), (r cdot x in I).

2. Ideal derecho:

De manera similar, (I) es un ideal perfecto si:

  • ((I, +)) es un subgrupo de ((R, +)).
  • Para cada (r in R) y cada (x in I), (x cdot r in I).

3. Modelo bipartito:

Un subconjunto (I) es un ideal bipartito si es tanto un ideal izquierdo como un ideal derecho. Por lo tanto, satisface:

  • ((I, +)) es un subgrupo de ((R, +)).
  • Para cada (r in R) y cada (x in I), (r cdot x in I) y (x cdot r in I).

Conclusión

En esta introducción a los anillos, hemos discutido las definiciones, propiedades y algunos ejemplos de anillos en álgebra abstracta. Los anillos son importantes en una variedad de áreas dentro y fuera de las matemáticas. Desde los enteros que forman la base de nuestra comprensión de los números hasta los anillos de matrices que modelan sistemas complejos, sus aplicaciones son numerosas.

Al entender los fundamentos de los anillos, puedes equiparte con herramientas para explorar temas más avanzados como módulos, campos y más allá.


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