正规子群

在抽象代数的迷人世界中，群构成了许多概念框架的支柱，是理解代数结构的核心。在这些结构中，子群起着至关重要的作用，特别是正规子群，为进一步探索和应用奠定了基础，例如商群的构造。在本篇叙述中，我们旨在全面理解正规子群，它们的性质、意义和应用。

基本定义

群 (G, *) 是一个集合 G 配备了一个二元运算 (*)，满足四个基本性质：封闭性、结合性、单位元和可逆性。群 G 的一个 子群 H 是一个在 G 的运算下自身也是一个群的子集。对于一个子群 H 为子群，必须满足三个条件：它必须包含 G 的单位元素，必须在群运算下封闭，并且必须在取逆的运算下封闭。

群 G 的一个子群 H 是 正规子群，如果它在 G 的元素的共轭下是不变的。更正式地说，如果对 G 的每个元素 g 和 H 的每个元素 h，元素 g * h * g -1 也在 H 中，那么 H 是 G 的正规子群。此性质使得 H 在 G 中的左陪集与右陪集重合，这是正规子群的固有性质。

符号表示：

符号 H ⟲ G 用于表示 H 是 G 的正规子群。

通过例子理解

为了更好地理解正规子群的概念，让我们看一些例子：

示例 1：整数群

考虑在加法下的整数群 Z。Z 的一个子群是所有一个固定整数 n 的倍数组成的群，记作 nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} Z 的每个子群都是这种形式。

让我们检查 nZ 是否是正规子群。选择任意整数 a 和 nZ 中的任意元素，比如 kn，其中 k 是整数。根据正规子群条件，我们必须检查 a + kn - a 是否在 nZ 中：

a + kn - a = kn

由于 kn 显然在 nZ 中，所以 Z 的每个子群 nZ 都是正规子群。本质上，在可交换群如 Z 中，每个子群在加法下都是正规子群。一个可交换群是指群运算是可交换的。

示例 2：对称群 S₃

对称群 S₃，即三元素的全排列群，提供了一个更显式的例子。S₃ 有六个元素：单位置换 e，两个三循环 (123)，(132)，和三个对换 (12)，(13) 和 (23)

考虑子群 A₃ = { e, (123), (132) }，这是偶置换群。我们来确定 A₃ 是否是 S₃ 的正规子群。对于 A₃ 是正规子群，对于任意 σ 在 S₃ 中和 τ 在 A₃ 中，共轭 στσ -1 必须也在 A₃ 中。

下图是 S₃ 和子群 A₃ 的可视化表示：

_A3

这表明 A₃ 实际上是正规子群，因为 A₃ 中元素的每次共轭都结果于 A₃ 中的另一个元素。

正规子群的性质

正规子群具有特殊和重要的性质。一些关键性质包括：

• 如果 H 是 G 的正规子群，那么 H 在 G 中的左陪集和右陪集相等。因此，左陪集和右陪集简单地称为陪集。
• 可以形成因子群或商群 G/H，其元素是这些陪集。
• 每个正规子群都是同构的本核。
• 任何一组 G 的正规子群的交集是 G 的正规子群。
• 任何阿贝尔群的任何子群都是正规子群，因为在群中对于所有的 a 和 b 有 a * b = b * a。

商群

正规子群的概念使我们可以定义商群。如果 H 是 G 的一个正规子群，那么 H 在 G 中的陪集形成一个在下述运算下的群：

(gh)(kh) = (g * k)h

群 G/H，即商群，由陪集构成，并提供了一种有结构的方式来“分割”群。

商群的例子

考虑整数模 6 的循环群，记作 Z6 该群包含元素 {0, 1, 2, 3, 4, 5}。子群 H = {0, 3} 是一个正规子群。商群 Z6/H 包含以下陪集：

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

因此，Z6/H 类似于 Z3。

正规子群的重要性

正规子群在群论中发挥着核心作用，并且在数学和相关领域具有深远的影响，包括：

• 利用它们来检测群同构，因为每个正规子群都可以看作同构的本核。
• 为商群的构造奠定基础，支持将复杂流形简化为群的结构。
• 在包括伽罗瓦理论和数论在内的各种分支中促进证明和推导。

结论

正规子群是群论中的基本构造，其重要的应用范围从定义商群到表示抽象同构映射。它们展示了抽象代数中数学结构和严谨的美，作为多种高级应用和概念的基石。通过实例和性质，我们看到了正规子群在理解更深更广的代数结构方面的美丽和必要性。

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