Нормальные подгруппы

В захватывающем мире абстрактной алгебры группы формируют основу многих концептуальных структур и являются центральными для понимания алгебраических структур. В этих структурах подгруппы играют важную роль, и нормальные подгруппы, в частности, служат основой для дальнейшего изучения и применения, например, для построения факторгрупп. В этом повествовании мы стремимся комплексно понять нормальные подгруппы, их свойства, значение и приложения.

Основные определения

Группа (G, *) — это множество G, оснащенное бинарной операцией (*), которая удовлетворяет четырем основным свойствам: замкнутости, ассоциативности, наличию нейтрального элемента и обратимости. Подгруппа H группы G — это подгруппа G, которая сама является группой относительно операции G. Чтобы подгруппа H была подгруппой, она должна удовлетворять трем условиям: она должна содержать нейтральный элемент G, быть замкнутой относительно групповой операции и относительно взятия обратного элемента.

Подгруппа H группы G является нормальной подгруппой, если она инвариантна относительно сопряжении элементами G. Более формально, H является нормальной подгруппой G, если для каждого элемента g в G и каждого элемента h в H элемент g * h * g -1 также принадлежит H. Это свойство позволяет множеству левых смежных классов H в G совпадать с множеством правых смежных классов, что является внутренним свойством нормальных подгрупп.

Обозначение:

Обозначение H ⟲ G используется, чтобы показать, что H является нормальной подгруппой G.

Понимание с примерами

Чтобы лучше понять концепцию нормальных подгрупп, давайте рассмотрим несколько примеров:

Пример 1: Группы целых чисел

Рассмотрим группу Z целых чисел относительно сложения. Подгруппа Z является группой всех кратных фиксированного числа n, обозначаемой как nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...}. Каждая подгруппа Z имеет такую форму.

Давайте проверим, является ли nZ нормальной подгруппой. Выберем любое целое число a и любой элемент из nZ, скажем, kn, где k - целое число. В соответствии с условием нормальной подгруппы, мы должны проверить, входит ли a + kn - a в nZ:

a + kn - a = kn

Поскольку kn явно входит в nZ, каждая подгруппа nZ группы Z является нормальной подгруппой. В сущности, в детерминированных терминах, каждая подгруппа абелевой группы, такой как Z, нормальна относительно сложения. Абелева группа — это группа, в которой групповая операция коммутативна.

Пример 2: Симметрическая группа S₃

Симметрическая группа S₃, группа всех перестановок трех элементов, предоставляет более явный пример. Группа S₃ имеет шесть элементов: тождественную перестановку e, два 3-цикла (123), (132) и три транспозиции (12), (13) и (23)

Рассмотрим подгруппу A₃ = { e, (123), (132) }, которая является группой четных перестановок. Определим, является ли A₃ нормальной подгруппой группы S₃. Для того чтобы A₃ была нормальной, для любого σ в S₃ и τ в A₃ сопряжение στσ -1 должно также содержаться в A₃.

Вот визуальное представление группы S₃ и подгруппы A₃:

Это показывает, что A₃ действительно является нормальной подгруппой, поскольку каждая конъюгация элемента в A₃ приводит к другому элементу в A₃.

Свойства нормальных подгрупп

Нормальные подгруппы обладают особыми и важными свойствами. Некоторые ключевые свойства включают:

• Если H является нормальной подгруппой группы G, то левые и правые смежные классы H в G равны. Таким образом, левые и правые смежные классы просто называются смежными классами.
• Можно образовать факторгруппы или факторгруппы G/H, где элементами являются эти смежные классы.
• Каждая нормальная подгруппа является ядром изоморфизма.
• Пересечение любой совокупности нормальных подгрупп G является нормальной подгруппой G.
• Каждая подгруппа любой абелевой группы является нормальной, поскольку a * b = b * a для всех a, b в группе.

Факторгруппа

Концепция нормальных подгрупп позволяет определить факторгруппы. Если H является нормальной подгруппой G, то множество смежных классов H в G образует группу относительно следующей операции:

(gh)(kh) = (g * k)h

Группы G/H, факторгруппы, имеют элементы, которые являются смежными классами, и обеспечивают структурированный способ "разделения" групп.

Пример факторгруппы

Рассмотрим циклическую группу целых чисел по модулю 6, обозначаемую как Z6. Эта группа содержит элементы {0, 1, 2, 3, 4, 5}. Подгруппа H = {0, 3} является нормальной подгруппой. Факторгруппа Z6/H содержит следующие смежные классы:

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

Таким образом, Z6/H аналогична Z3.

Значение нормальных подгрупп

Нормальные подгруппы играют центральную роль в теории групп и имеют далеко идущие последствия в математике и смежных областях, включая:

• использование их для обнаружения изоморфизмов групп, поскольку каждая нормальная подгруппа может рассматриваться как ядро изоморфизмов.
• Создание основы для построения факторгрупп, поддерживающих структуры, которые упрощают сложные многообразия до групп.
• Облегчение доказательств и выводов в различных отраслях, включая теорию Галуа и теорию чисел.

Заключение

Нормальные подгруппы являются фундаментальными конструкциями в теории групп, важные применения которых простираются от определения факторгрупп до представления абстрактных изоморфизмов. Они демонстрируют красоту математического построения и точности в абстрактной алгебре, служа основой для множества продвинутых приложений и концепций. Через примеры и свойства мы увидели красоту и необходимость нормальных подгрупп в понимании более глубоких и обширных аспектов алгебраических структур.

комментарии