Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Subgrupos normais


No fascinante mundo da álgebra abstrata, os grupos constituem a espinha dorsal de muitos quadros conceituais e são centrais para entender estruturas algébricas. Nessas estruturas, os subgrupos desempenham um papel crucial, e os subgrupos normais, em particular, servem como base para uma exploração e aplicações adicionais, como a construção de grupos quocientes. Neste relato, pretendemos compreender de forma abrangente os subgrupos normais, suas propriedades, significância e aplicações.

Definições básicas

Um grupo (G, *) é um conjunto G equipado com uma operação binária (*) que satisfaz quatro propriedades fundamentais: fechamento, associatividade, identidade e inversibilidade. Um subgrupo H de um grupo G é um subgrupo de G que é em si mesmo um grupo sob a operação de G. Para que um subgrupo H seja um subgrupo, ele deve satisfazer três condições: ele deve conter o elemento identidade de G, deve estar fechado sob a operação do grupo e deve estar fechado sob a operação de inverso.

Um subgrupo H de G é um subgrupo normal se for invariante sob conjugação por elementos de G. Mais formalmente, H é um subgrupo normal de G se, para cada elemento g em G e para cada elemento h em H, o elemento g * h * g -1 também estiver em H. Esta propriedade permite que o conjunto de classes laterais à esquerda de H em G coincida com o conjunto de classes laterais à direita, o que é uma propriedade intrínseca dos subgrupos normais.

Notação:

A notação H ⟲ G é usada para indicar que H é um subgrupo normal de G.

Compreensão com exemplos

Para melhor entender o conceito de subgrupos normais, vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1: Grupos de inteiros

Considere o grupo Z de inteiros sob adição. Um subgrupo de Z é o grupo de todos os múltiplos de um inteiro fixo n, denotado por nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} Cada subgrupo de Z é desta forma.

Vamos verificar se nZ é um subgrupo normal. Escolha qualquer inteiro a e qualquer elemento de nZ, digamos, kn onde k é um inteiro. De acordo com a condição do subgrupo normal, devemos verificar se a + kn - a está em nZ:

a + kn - a = kn

Como kn está obviamente em nZ, cada subgrupo nZ de Z é um subgrupo normal. Essencialmente, em termos determinísticos, todo subgrupo de um grupo abeliano como Z é normal sob adição. Um grupo abeliano é aquele em que a operação do grupo é comutativa.

Exemplo 2: O grupo simétrico S3

O grupo simétrico S3, o grupo de todas as permutações de três elementos, fornece um exemplo mais explícito. S3 tem seis elementos: a permutação identidade e, dois 3-ciclos (123), (132), e três transposições (12), (13) e (23)

Considere o subgrupo A3 = { e, (123), (132) }, que é o grupo de permutações pares. Vamos determinar se A3 é um subgrupo normal de S3. Para que A3 seja normal, para qualquer σ em S3 e τ em A3, o conjugado στσ -1 deve também estar em A3.

Aqui está uma representação visual de S3 e do subgrupo A3:

E (12) (23) (13) (123) (132) A3

Isso mostra que A3 é, de fato, um subgrupo normal, já que cada conjugação de um elemento em A3 resulta em outro elemento em A3.

Propriedades dos subgrupos normais

Os subgrupos normais possuem propriedades especiais e importantes. Algumas propriedades chave incluem:

  • Se H é um subgrupo normal de G, então as classes laterais à esquerda e à direita de H em G são iguais. Assim, as classes laterais à esquerda e à direita são simplesmente chamadas de classes laterais.
  • Os grupos fatoriais ou grupos quocientes G/H podem ser formados, onde os elementos são essas classes laterais.
  • Todo subgrupo normal é o núcleo de um isomorfismo.
  • A interseção de qualquer coleção de subgrupos normais de G é um subgrupo normal de G.
  • Todo subgrupo de qualquer grupo abeliano é normal, já que a * b = b * a para todos a, b no grupo.

Grupo quociente

O conceito de subgrupos normais nos permite definir grupos quocientes. Se H é um subgrupo normal de G, então o conjunto de classes laterais de H em G forma um grupo sob a seguinte operação:

(gh)(kh) = (g * k)h

Os grupos G/H, os grupos quocientes, têm elementos que são classes laterais e fornecem uma maneira estruturada de "dividir" grupos.

Exemplo de um grupo quociente

Considere o grupo cíclico de inteiros modulo 6, denotado como Z6 Este grupo contém os elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5}. O subgrupo H = {0, 3} é um subgrupo normal. O grupo quociente Z6/H contém as seguintes classes laterais:

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

Assim, Z6/H é semelhante a Z3.

Importância dos subgrupos normais

Os subgrupos normais desempenham um papel central na teoria dos grupos e têm implicações de longo alcance em matemática e campos relacionados, incluindo:

  • usá-los para detectar isomorfismos de grupos, já que todo subgrupo normal pode ser visto como um núcleo de isomorfismos.
  • Estabelecendo uma base para a construção de grupos quocientes, apoiando estruturas que simplificam complexas variedades para grupos.
  • Facilitando provas e derivações em vários ramos, incluindo a teoria de Galois e a teoria dos números.

Conclusão

Os subgrupos normais são construções fundamentais dentro da teoria dos grupos, cujas aplicações importantes variam desde a definição de grupos quocientes até a representação de mapeamentos isomórficos abstratos. Eles demonstram a beleza da estrutura matemática e do rigor dentro da álgebra abstrata, servindo como um alicerce para uma variedade de aplicações e conceitos avançados. Através de exemplos e propriedades, vimos a beleza e necessidade dos subgrupos normais para entender aspectos mais profundos e amplos das estruturas algébricas.


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