正規部分群

抽象代数学の魅力的な世界では、群は多くの概念的枠組みの骨格を形成し、代数構造を理解するための中心的な役割を果たします。これらの構造において、部分群は重要な役割を果たし、特に正規部分群は、商群の構成など、さらなる探求と応用の基盤として機能します。この物語では、正規部分群、その特性、重要性、および応用を包括的に理解することを目指します。

基本的な定義

群 (G, *) は、閉性、結合律、単位元の存在、逆元の存在という4つの基本的な性質を満たす二項演算 (*) を備えた集合 G です。群 G の 部分群 H は、G の演算の下でそれ自身が群である G の部分群です。部分群 H が部分群であるためには、G の単位元を含み、群の演算の下で閉じており、逆元をとることについて閉じているという3つの条件を満たす必要があります。

G の部分群 H は、G の要素による共役について不変である場合に 正規部分群 です。より形式的には、G の要素 g と H の要素 h のすべてについて、要素 g * h * g ^-1 が H にある場合に H は G の正規部分群です。この特性により、H の左コセットの集合が H の右コセットの集合と一致することが可能となり、これは正規部分群の固有の特性です。

記法:

H が G の正規部分群であることを示すには、H ⟲ G という記法が使用されます。

例で理解する

正規部分群の概念をよりよく理解するために、いくつかの例を見てみましょう:

例 1: 整数群

加法の下での整数の群 Z を考えます。Z の部分群は、固定整数 n のすべての倍数の群であり、nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} と表されます。Z のすべての部分群はこの形式です。

nZ が正規部分群であるかどうかを確認しましょう。任意の整数 a と nZ の任意の要素、例えば k を整数としたときの kn を選びます。正規部分群の条件によれば、a + kn - a が nZ にあるかどうかを確認する必要があります:

a + kn - a = kn

kn は明らかに nZ にあるため、Z のすべての部分群 nZ は正規部分群です。基本的に、Z のような可換群のすべての部分群は加法の下で正規です。可換群とは、群の演算が交換可能である群です。

例 2: 対称群 S₃

3 つの要素のすべての順列の群である対称群 S₃ は、より明示的な例を提供します。S₃ には 6 つの要素があります: 恒等置換 e、2 つの3-サイクル (123)、(132)、および 3 つの置換 (12)、(13)、(23)

偶置換の群である部分群 A₃ = { e, (123), (132) } を考えます。A₃ が S₃ の正規部分群であるかどうかを確認しましょう。A₃ が正規であるためには、S₃ の任意の σ と A₃ の任意の τ に対して、共役 στσ ^-1 も A₃ にある必要があります。

ここに S₃ と部分群 A₃ の視覚的な表現があります:

_A3

これは、A₃ の要素のすべての共役が A₃ の別の要素になるため、A₃ が実際に正規部分群であることを示しています。