सामान्य उपसमूह

अमूर्त बीजगणित की अद्भुत दुनिया में, समूह कई वैचारिक ढाँचे की रीढ़ बनाते हैं और बीजगणितीय संरचनाओं को समझने के लिए केंद्रीय होते हैं। इन संरचनाओं में, उपसमूह महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, और विशेष रूप से सामान्य उपसमूह आगे की खोज और अनुप्रयोगों के लिए नींव के रूप में कार्य करते हैं, जैसे कि भागफल समूहों का निर्माण। इस विवरण में, हम सामान्य उपसमूहों, उनके गुणों, महत्व और अनुप्रयोगों को पूरी तरह से समझने का प्रयास करते हैं।

मूल परिभाषाएँ

एक समूह (G, *) एक सेट G है जो एक द्विआधारी ऑपरेशन (*) से सुसज्जित है, जो चार मौलिक गुणों को संतुष्ट करता है: क्लोजर, अनुरूपता, पहचान, और प्रतिवृत्ति। किसी समूह G का उपसमूह H एक उपसमूह होता है जो स्वयं G के ऑपरेशन के तहत समूह होता है। H को उपसमूह बनने के लिए तीन शर्तों को संतुष्ट करना होता है: उसमें G का पहचान तत्व होना आवश्यक है, उसे समूह ऑपरेशन के अंतर्गत क्लोज होना चाहिए, और उसे इनवर्स लेने के लिए क्लोज होना चाहिए।

G का एक उपसमूह H सामान्य उपसमूह होता है यदि वह G के तत्वों द्वारा संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होता है। अधिक औपचारिक रूप से, H G का सामान्य उपसमूह होता है यदि G के हर तत्व g और H के हर तत्व h के लिए, तत्व g * h * g -1 भी H में होता है। यह गुण G में H के बाएं कॉसेट के सेट को दाएं कॉसेट के सेट के साथ मेल करने की अनुमति देता है, जो सामान्य उपसमूहों का एक आंतरिक गुण है।

अधिसूचना:

यह दिखाने के लिए कि H G का सामान्य उपसमूह है, अधिसूचना H ⟲ G का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के साथ समझें

सामान्य उपसमूहों की अवधारणा को बेहतर ढंग से समझने के लिए चलिए कुछ उदाहरण देखें:

उदाहरण 1: पूर्णांक समूह

संख्या जोड़ के तहत पूर्णांक का समूह Z को देखें। Z का एक उपसमूह एक निश्चित पूर्णांक n के सभी गुणकों का समूह होता है, जिसे nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} से निरूपित किया जाता है। Z के हर उपसमूह इस रूप का होता है।

आइए जाँचें कि नज़र nZ एक सामान्य उपसमूह है या नहीं। कोई भी पूर्णांक a और nZ से कोई भी तत्व चुनें, कहें kn जहाँ k एक पूर्णांक है। सामान्य उपसमूह शर्त के मुताबिक, हमें यह जाँचना होगा कि क्या a + kn - a nZ में है:

a + kn - a = kn

क्योंकि kn स्पष्ट रूप से nZ में होता है, Z का कोई भी उपसमूह nZ एक सामान्य उपसमूह होता है। वास्तव में, निर्धारित शब्दों में, Z जैसे अबेली समूह का हर उपसमूह जोड़ के तहत सामान्य होता है। एक अबेली समूह वह होता है जहाँ समूह ऑपरेशन समापूर्ण होता है।

उदाहरण 2: सममित समूह S₃

सममित समूह S₃, तीन तत्वों के सभी क्रमचयों का समूह, अधिक स्पष्ट उदाहरण प्रदान करता है। S₃ के पास छह तत्व होते हैं: पहचान क्रमचय e, दो 3-क्रम (123), (132), और तीन स्थानांतरण (12), (13) और (23)

उपसमूह A₃ = { e, (123), (132) } को देखें, जो सम क्रमचयों का समूह होता है। चलिए देखें कि क्या A₃ S₃ का सामान्य उपसमूह है या नहीं। A₃ सामान्य होने के लिए, किसी भी σ में S₃ और τ में A₃, संयुग्मन στσ -1 भी A₃ में होना चाहिए।

S₃ और उपसमूह A₃ का एक दृश्य प्रतिनिधित्व यहाँ दिया गया है:

_A3

यह दिखाता है कि A₃ वास्तव में एक सामान्य उपसमूह है क्योंकि A₃ के किसी तत्व का हर संयुग्मन A₃ के किसी अन्य तत्व में परिणत होता है।

सामान्य उपसमूहों के गुण

सामान्य उपसमूहों में विशेष और महत्वपूर्ण गुण होते हैं। कुछ प्रमुख गुण हैं:

• यदि H G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G में H के बाएं और दाएं कॉसेट समान होते हैं। इस प्रकार, बाएं और दाएं कॉसेट को केवल कॉसेट कहा जाता है।
• भिन्नक समूहों या भागफल समूहों G/H का निर्माण किया जा सकता है, जहाँ तत्व ये कॉसेट होते हैं।
• हर सामान्य उपसमूह समरूपता का आधार होता है।
• G के किसी भी सामान्य उपसमूहों के संग्रह के अंत:स्त को G का एक सामान्य उपसमूह होता है।
• किसी भी अबेली समूह का हर उपसमूह सामान्य होता है, क्योंकि a * b = b * a होता है समूह के सभी a, b के लिए।

भागफल समूह

सामान्य उपसमूहों की अवधारणा हमें भागफल समूहों को परिभाषित करने की अनुमति देती है। यदि H G का एक सामान्य उपसमूह है, तो G में H के कॉसेट का सेट निम्नलिखित ऑपरेशन के अंतर्गत एक समूह का निर्माण करता है:

(gh)(kh) = (g * k)h

समूह G/H, भागफल समूह, तत्व होते हैं जो कॉसेट होते हैं, और समूहों को "फाड़ने" का एक संरचित तरीका प्रदान करते हैं।

एक भागफल समूह का उदाहरण

पूर्णांक मोडुलो 6 के चक्रीय समूह को देखें, जिसे Z6 कहा जाता है। इस समूह में तत्व होते हैं {0, 1, 2, 3, 4, 5}। उपसमूह H = {0, 3} एक सामान्य उपसमूह है। भागफल समूह Z6/H में निम्नलिखित कॉसेट होते हैं:

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

इस प्रकार, Z6/H Z3 के समान होता है।

सामान्य उपसमूहों का महत्व

सामान्य उपसमूह समूह सिद्धांत में केंद्रीय भूमिका निभाते हैं और गणित और संबंधित क्षेत्रों में व्यापक निहितार्थ रखते हैं, जिनमें शामिल हैं:

• उन्हें समूह समरूपता का पता लगाने के लिए इस्तेमाल करते हुए, क्योंकि हर सामान्य उपसमूह को समरूपताओं का आधार माना जा सकता है।
• भागफल समूहों के निर्माण के लिए एक आधार को संसाधित करना, संरचनाओं का समर्थन करना जो जटिल रूपांतरों को समूहों के रूप में सरल बनाते हैं।
• गैलोइस सिद्धांत और संख्या सिद्धांत समेत विभिन्न शाखाओं में प्रमाण और निष्कर्ष प्राप्त करने में सहयोग देना।

निष्कर्ष

सामान्य उपसमूह समूह सिद्धांत के मौलिक निर्माण होते हैं, जिनके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग भागफल समूहों को परिभाषित करने से लेकर अमूर्त समरूप मानचित्रण को प्रस्तुत करने तक होते हैं। वे अमूर्त बीजगणित के भीतर गणितीय संरचना और कठोरता की सुंदरता को प्रदर्शित करते हैं, उन्नत अनुप्रयोगों और अवधारणाओं की विविधता के लिए आधार बनाते हुए। उदाहरणों और गुणों के माध्यम से, हमने बीजगणितीय संरचनाओं के गहरे और व्यापक पहलुओं को समझने में सामान्य उपसमूहों की सुंदरता और आवश्यकता देखी है।

टिप्पणियाँ