Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Álgebra → Álgebra abstracta ↓


Subgrupos normales


En el fascinante mundo del álgebra abstracta, los grupos forman la columna vertebral de muchos marcos conceptuales y son fundamentales para comprender las estructuras algebraicas. En estas estructuras, los subgrupos juegan un papel crucial, y los subgrupos normales, en particular, sirven como base para una mayor exploración y aplicaciones, como la construcción de grupos cociente. En esta narrativa, pretendemos comprender de manera exhaustiva los subgrupos normales, sus propiedades, importancia y aplicaciones.

Definiciones básicas

Un grupo (G, *) es un conjunto G equipado con una operación binaria (*) que satisface cuatro propiedades fundamentales: clausura, asociatividad, identidad e invertibilidad. Un subgrupo H de un grupo G es un subgrupo de G que es en sí mismo un grupo bajo la operación de G. Para que H sea un subgrupo, debe cumplir con tres condiciones: debe contener el elemento de identidad de G, debe ser cerrado bajo la operación del grupo y debe ser cerrado bajo tomar el inverso.

Un subgrupo H de G es un subgrupo normal si es invariante bajo la conjugación por elementos de G. Más formalmente, H es un subgrupo normal de G si, para cada elemento g en G y cada elemento h en H, el elemento g * h * g -1 también está en H. Esta propiedad permite que el conjunto de clases laterales izquierdas de H en G coincida con el conjunto de clases laterales derechas, lo cual es una propiedad intrínseca de los subgrupos normales.

Notación:

La notación H ⟲ G se usa para indicar que H es un subgrupo normal de G.

Entender con ejemplos

Para comprender mejor el concepto de subgrupos normales, veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1: Grupos de enteros

Consideremos el grupo Z de enteros bajo la adición. Un subgrupo de Z es el grupo de todos los múltiplos de un entero fijo n, denotado por nZ = { ..., -2n, -n, 0, n, 2n, ...} Cada subgrupo de Z es de esta forma.

Verifiquemos si nZ es un subgrupo normal. Elija cualquier entero a y cualquier elemento de nZ, digamos kn donde k es un entero. Según la condición de subgrupo normal, debemos verificar si a + kn - a está en nZ:

a + kn - a = kn

Dado que kn obviamente está en nZ, cada subgrupo nZ de Z es un subgrupo normal. Esencialmente, en términos determinísticos, cada subgrupo de un grupo abeliano como Z es normal bajo la adición. Un grupo abeliano es aquel donde la operación del grupo es conmutativa.

Ejemplo 2: El grupo simétrico S3

El grupo simétrico S3, el grupo de todas las permutaciones de tres elementos, proporciona un ejemplo más explícito. S3 tiene seis elementos: la permutación identidad e, dos 3-ciclos (123), (132), y tres transposiciones (12), (13) y (23)

Consideremos el subgrupo A3 = { e, (123), (132) }, que es el grupo de permutaciones pares. Determinemos si A3 es un subgrupo normal de S3. Para que A3 sea normal, para cualquier σ en S3 y τ en A3, el conjugado στσ -1 debe estar también en A3.

A continuación se muestra una representación visual de S3 y el subgrupo A3:

E (12) (23) (13) (123) (132) A3

Esto muestra que A3 es de hecho un subgrupo normal ya que cada conjugación de un elemento en A3 resulta en otro elemento en A3.

Propiedades de los subgrupos normales

Los subgrupos normales poseen propiedades especiales e importantes. Algunas propiedades clave incluyen:

  • Si H es un subgrupo normal de G, entonces las clases laterales izquierdas y derechas de H en G son iguales. Por lo tanto, las clases laterales izquierdas y derechas simplemente se llaman clases laterales.
  • Se pueden formar los grupos de factorización o grupos cociente G/H, cuyos elementos son estas clases laterales.
  • Cada subgrupo normal es el núcleo de un isomorfismo.
  • La intersección de cualquier colección de subgrupos normales de G es un subgrupo normal de G.
  • Cada subgrupo de cualquier grupo abeliano es normal, ya que a * b = b * a para todos a, b en el grupo.

Grupo cociente

El concepto de subgrupos normales nos permite definir grupos cociente. Si H es un subgrupo normal de G, entonces el conjunto de clases laterales de H en G forma un grupo bajo la siguiente operación:

(gh)(kh) = (g * k)h

Los grupos G/H, los grupos cociente, tienen elementos que son clases laterales, y proporcionan una manera estructurada de "dividir" grupos.

Ejemplo de un grupo cociente

Consideremos el grupo cíclico de enteros módulo 6, denotado como Z6 Este grupo contiene los elementos {0, 1, 2, 3, 4, 5}. El subgrupo H = {0, 3} es un subgrupo normal. El grupo cociente Z6/H contiene las siguientes clases laterales:

{0, 3}, {1, 4}, {2, 5}

Por lo tanto, Z6/H es similar a Z3.

Importancia de los subgrupos normales

Los subgrupos normales desempeñan un papel central en la teoría de grupos y tienen amplias implicaciones en matemáticas y campos relacionados, incluyendo:

  • usarlos para detectar isomorfismos de grupos, ya que cada subgrupo normal puede ser visto como un núcleo de isomorfismos.
  • Establecer una base para la construcción de grupos cociente, apoyando estructuras que simplifican variedades complejas a grupos.
  • Facilitar pruebas y derivaciones en varias ramas, incluyendo la teoría de Galois y la teoría de números.

Conclusión

Los subgrupos normales son construcciones fundamentales dentro de la teoría de grupos, cuyas importantes aplicaciones van desde la definición de grupos cociente hasta la representación de mapeos isomórficos abstractos. Demuestran la belleza de la estructura matemática y el rigor dentro del álgebra abstracta, sirviendo como piedra angular para una variedad de aplicaciones y conceptos avanzados. A través de ejemplos y propiedades, hemos visto la belleza y necesidad de los subgrupos normales para entender aspectos más profundos y amplios de las estructuras algebraicas.


Universitario → 1.2.6


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (1.2.5)
Homeomorfismo
Siguiente (1.2.7) →
Introducción a los anillos en álgebra abstracta

Comentarios 



Subgrupos normales

https://www.buddymath.com/ug/1.2.6?bmal=es