置换群
置换群是抽象代数中一个基本概念。它们构成了群论的一个基本部分，群论是研究被称为群的代数结构的数学分支。要理解置换群，我们需要从理解置换是什么开始，然后继续探讨它们如何融入群的广义理论。
什么是置换？
一组的置换是其元素的重新排列。例如，如果我们有一个三元素集合{1, 2, 3}，那么一个置换可以是{3, 2, 1}，另一个可以是{2, 1, 3}，等等。在置换中，元素的顺序很重要，而在集合中顺序则不重要。
形式上，对于具有n个元素的有限集合，置换是从集合到自身的二元函数。二元函数既是单射（单一的）又是满射（对应于），这意味着它重新排列集合的所有元素，没有遗留或重复任何元素。
置换的表示法
有多种方法可以表示置换。一种常见的方法是使用循环表示法。在循环表示法中，我们将置换写为循环的乘积。循环是子集元素的置换，它在某个轨道中旋转这些元素。
例如，若我们有置换(1 3 2)，它表示1移到3先前的位置，3移到2先前的位置，而2移到1先前的位置。这构成一个循环。循环中未提到的元素保持在其原始位置。
置换作为函数: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 置换在循环表示中: (1 3 2)在这里，置换将1替换为3，3替换为2以及2替换为1。
什么是群？
在深入研究置换群之前，我们必须理解群的数学概念。群是一个集合结合一个操作，该操作满足四个基本属性：
- 封闭性：对于群中的每个a, b，操作(a * b)的结果也在群中。
- 结合性：对于群中的每个a, b和c，(a * b) * c = a * (b * c)。
- 单位元素：在群中存在一个元素e，使得对于任一元素a，方程e * a = a * e = a成立。
- 逆元素：对于群中的每一个元素a，存在一个元素b，使得a * b = b * a = e，其中e是单位元素。
有了这些属性，群形成一个结构，帮助数学家从统一的角度理解对称性、变换和许多其他概念。
置换群作为一个群
现在我们已经了解了置换和群是什么，可以定义置换群。置换群是一个群，其中的元素是集合的置换，群操作是这些置换的组合。
两个置换的组合是另一个置换。此操作具结合性，其中一个是单位置换（将所有元素保持在其原始位置），而每个置换都有一个逆（即原置换操作的逆置换）。
对称群
置换群中最重要的例子之一是对称群。n元素的对称群，记作S n，由集合n元素的所有可能置换组成。
例如，三个元素的对称群S 3包括以下集合{1, 2, 3}的置换：
单位置换: ( ) 单个互换: (12), (13), (23) 三者循环: (123), (132)该群共有6个元素，这是3的阶乘，3!。通常，S n中的元素数量是n!.
可视化示例
Cayley定理
Cayley定理指出每个群G同性于对称群的一个子群。本质上，这意味着任何群都可以表示为一个置换群。这是一个深刻的结果，因为它告诉我们置换群不仅仅是抽象的构造，还为群论提供了基础。
例子和练习
让我们通过一些例子和练习来更好地理解置换群。
例1：置换的组合
考虑集合{1, 2, 3}上的置换：σ = (1 2) 和 τ = (2 3)。为了找到结构σ ∘ τ，我们首先将σ应用于τ并然后对集合的每个元素进行应用。
| 元素 | 应用τ | 应用σ |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 |
σ ∘ τ = (1 3 2)所得置换相当于从1移动到3，从3到2，从2到1，形成循环(1 3 2)。
例2：置换的逆
让我们找到置换(1 3 2 4)的逆。记住，置换的逆可以撤销置换。
置换: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 逆置换: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1逆可以用循环表示法写成(4 1 3 2)。
例3：对称群S 4
考虑对称群S 4，这是集合{1, 2, 3, 4}的所有置换的群。该群有24（4!）个置换。以下是一些例子：
单位: () 双循环: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) 三循环: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... 四循环: (1 2 3 4)在S 4中，所有置换都可以表示为不相交循环的乘积，或转置（双循环）的乘积。
置换群的性质
偶置换和奇置换
置换可以根据表达它所需的转置数分类为偶置换或奇置换。如果一个置换可以表达为偶数个转置的乘积，则为偶置换；若为奇数，则为奇置换。
交替群
交替群，记作A n，是n元素集合的所有偶置换的群。它是对称群S n的子群，具有n! /2个元素。
例如，在S 3中，交替群A 3包含以下置换：
单位: () 三循环: (1 2 3), (1 3 2)结论
置换群是抽象代数中的一个有趣而丰富的研究领域。通过研究如何将置换结构化成群，我们可以从理解数学的许多领域和需要理解对称和组合结构的实际应用中获得洞察力。无论是对称群还是交替群，每个置换群的概念力量都帮助我们理解在定义明确的数学环境下的复杂模式和元素的操作。
通过置换群，探索的方式是无限的，接触到诸如代数拓扑、域论，甚至是密码算法等深刻主题。掌握这些概念为理解高级数学理论提供了坚实的基础。
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