Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Алгебра → Абстрактная алгебра ↓


Группа перестановок


Группы перестановок являются важной концепцией в абстрактной алгебре. Они формируют фундаментальную часть теории групп, раздела математики, который изучает алгебраические структуры, известные как группы. Чтобы понять группы перестановок, нам нужно начать с понимания того, что такое перестановки, а затем перейти к пониманию, как они вписываются в более широкую теорию групп.

Что такое перестановка?

Перестановка множества — это переупорядочение его элементов. Например, если у нас есть множество из трех элементов {1, 2, 3}, то одной из перестановок может быть {3, 2, 1}, другой — {2, 1, 3} и так далее. В перестановке порядок элементов имеет значение, в то время как в множестве порядок не имеет значения.

Формально, для конечного множества с n элементами перестановка является бинарной функцией из множества в само себя. Бинарная функция является и инъективной (одно-ко-одной), и сюръективной (на), что означает, что она переупорядочивает все элементы множества без оставления или повторения какого-либо элемента.

Обозначение перестановок

Существуют различные способы представления перестановок. Одним из распространенных является циклическое обозначение. В циклическом обозначении мы записываем перестановки как произведение циклов. Цикл — это перестановка подмножества элементов, которая вращает элементы в определенной орбите.

Например, если у нас есть перестановка (1 3 2), это показывает, что 1 переходит на позицию, ранее занимаемую 3, 3 переходит на позицию, ранее занимаемую 2, а 2 переходит на позицию, ранее занимаемую 1. Это формирует цикл. Элемент, не упомянутый в цикле, остается на своей исходной позиции.

Перестановка как функция: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 Перестановка в циклическом обозначении: (1 3 2)

Здесь перестановка заменяет 1 на 3, 3 на 2 и 2 на 1.

Что такое группа?

Прежде чем углубляться конкретно в группы перестановок, нужно понять математическую концепцию группы. Группа — это множество, объединенное с операцией, которая удовлетворяет четырем основным свойствам:

  1. Замкнутость: для каждого a, b в группе результат операции (a * b) также находится в группе.
  2. Ассоциативность: для каждого a, b и c в группе (a * b) * c = a * (b * c).
  3. Единичный элемент: в группе существует элемент e, такой что для любого элемента a уравнение e * a = a * e = a верно.
  4. Обратный элемент: для каждого элемента a в группе существует элемент b, такой что a * b = b * a = e, где e — это единичный элемент.

С этими свойствами группы формируют структуру, которая помогает математикам понять симметрии, преобразования и многие другие концепции с единой точки зрения.

Группа перестановок как группа

Теперь, когда мы понимаем, что такое перестановки и группы, мы можем определить группу перестановок. Группа перестановок — это группа, где элементы являются перестановками множества, а групповой операцией является композиция этих перестановок.

Комбинация двух перестановок является другой перестановкой. Эта операция ассоциативна, одна является единичной перестановкой (которая оставляет все элементы на их исходных позициях), и каждая перестановка имеет обратный (которая возвращает исходное действие перестановки).

Симметрическая группа

Одним из самых важных примеров групп перестановок является симметрическая группа. Симметрическая группа на n элементах, обозначаемая S n, включает все возможные перестановки множества из n элементов.

Например, симметрическая группа на трех элементах, S 3, включает следующие перестановки множества {1, 2, 3}:

Единичная перестановка: ( ) Простейшие транспозиции: (12), (13), (23) Циклы длины 3: (123), (132)

Эта группа имеет всего 6 элементов, что соответствует факториалу 3, 3!. В общем случае количество элементов в S n равно n!.

Визуальный пример

1 2 3 2 1 3

Теорема Кэли

Теорема Кэли утверждает, что любая группа G изоморфна подгруппе симметрической группы. По сути, это означает, что любая группа может быть представлена как группа перестановок. Это глубокий результат, поскольку он говорит нам, что группы перестановок — это не просто абстрактные конструкции, а основа всей теории групп.

Примеры и упражнения

Давайте разберем несколько примеров и упражнений, чтобы лучше понять группы перестановок.

Пример 1: Композиция перестановок

Рассмотрим перестановки на множестве {1, 2, 3}: σ = (1 2) и τ = (2 3). Чтобы найти структуру σ ∘ τ, мы сначала применяем σ к τ, а затем к каждому элементу множества.

Элемент Применить τ Применить σ
1 1 2
2 3 3
3 2 1 
σ ∘ τ = (1 3 2)

Результирующая перестановка эквивалентна перемещению от 1 к 3, от 3 к 2 и от 2 к 1, формируя цикл (1 3 2).

Пример 2: Обратная перестановка

Найдем обратную перестановку (1 3 2 4). Помните, что обратная перестановка отменяет перестановку.

Перестановка: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 Обратная перестановка: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1

Обратная перестановка может быть записана в циклическом обозначении как (4 1 3 2).

Пример 3: Симметрическая группа S 4

Рассмотрим симметрическую группу S 4, которая представляет группу всех перестановок множества {1, 2, 3, 4}. Эта группа имеет 24 (4!) перестановки. Вот некоторые примеры:

Единичная: () Двуциклы: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) Третий циклы: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... Четвертый цикл: (1 2 3 4)

Каждая перестановка в S 4 может быть выражена как произведение непересекающихся циклов или как произведение транспозиций (двуциклов).

Свойства групп перестановок

Четные и нечетные перестановки

Перестановка может быть классифицирована как четная или нечетная в зависимости от количества транспозиций, которые требуется для ее выражения. Перестановка является четной, если она может быть выражена как произведение четного количества транспозиций, и нечетной, если для этого требуется нечетное количество.

Альтернативные группы

Альтернативная группа, обозначаемая A n, является группой всех четных перестановок множества с n элементами. Это подгруппа симметрической группы S n и имеет n! /2 элементов.

Например, в S 3 альтернативная группа A 3 содержит следующие перестановки:

Единичная: () Трехциклы: (1 2 3), (1 3 2)

Заключение

Группы перестановок являются увлекательной и богатой областью исследований в рамках абстрактной алгебры. Изучая, как перестановки могут быть структурированы в группы, мы получаем представление о многих областях математики и практических применениях, которые требуют понимания симметричных и комбинаторных структур. Независимо от того, является ли это симметрической или альтернативной группой, концептуальная сила каждой группы перестановок помогает нам понять сложные шаблоны и операции элементов в четко определенной математической среде.

С группами перестановок возможности для дальнейшего исследования безграничны, охватывая глубокие темы, такие как алгебраическая топология, теория полей и даже криптографические алгоритмы. Освоение этих концепций предоставляет прочную основу для понимания сложных математических теорий.


Бакалавриат → 1.2.4


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (1.2.3)
Циклические группы
следующая (1.2.5) →
Гомеоморфизм

комментарии 



Группа перестановок

https://www.buddymath.com/ug/1.2.4?bmal=ru