Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

Graduação → Álgebra → Álgebra abstrata ↓


Grupo de Permutações


Os grupos de permutações são um conceito essencial na álgebra abstrata. Eles formam uma parte fundamental da teoria dos grupos, um ramo da matemática que explora estruturas algébricas conhecidas como grupos. Para entender grupos de permutações, precisamos começar entendendo o que são permutações e depois ver como elas se encaixam na teoria mais ampla dos grupos.

O que é permutação?

Uma permutação de um conjunto é uma rearranjo de seus elementos. Por exemplo, se temos um conjunto de três elementos, {1, 2, 3}, então uma permutação poderia ser {3, 2, 1}, outra poderia ser {2, 1, 3}, e assim por diante. Em uma permutação a ordem dos elementos importa, enquanto em um conjunto a ordem não importa.

Formalmente, para um conjunto finito com n elementos, uma permutação é uma função binária do conjunto para si mesmo. A função binária é tanto injetiva (um-para-um) quanto sobrejetiva (para), significando que rearranja todos os elementos do conjunto sem deixar ou repetir qualquer elemento.

Notação para permutações

Existem muitas maneiras de representar permutações. Uma maneira comum é usar a notação de ciclos. Na notação de ciclos, escrevemos permutações como o produto de ciclos. Um ciclo é uma permutação de um subconjunto de elementos que rotaciona os elementos em uma certa órbita.

Por exemplo, se temos a permutação (1 3 2), isso mostra que 1 vai para a posição anteriormente ocupada por 3, 3 vai para a posição anteriormente ocupada por 2, e 2 vai para a posição anteriormente ocupada por 1. Isso forma um ciclo. O elemento não mencionado no ciclo permanece em sua posição original.

Permutação como função: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 Permutação em notação de ciclo: (1 3 2)

Aqui, a permutação substitui 1 por 3, 3 por 2 e 2 por 1.

O que é um grupo?

Antes de mergulhar especificamente em grupos de permutações, devemos entender o conceito matemático de um grupo. Um grupo é um conjunto combinado com uma operação que satisfaz quatro propriedades fundamentais:

  1. Fechamento: para todo a, b no grupo, o resultado da operação (a * b) também está no grupo.
  2. Associatividade: Para todo a, b, e c no grupo, (a * b) * c = a * (b * c).
  3. Elemento identidade: Existe um elemento e no grupo tal que para qualquer elemento a a equação e * a = a * e = a é válida.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento a no grupo, existe um elemento b tal que a * b = b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Com essas propriedades, os grupos formam uma estrutura que ajuda os matemáticos a entender simetrias, transformações e muitos outros conceitos a partir de uma perspectiva unificada.

Grupo de permutações como um grupo

Agora que entendemos o que são permutações e grupos, podemos definir um grupo de permutações. Um grupo de permutações é um grupo onde os elementos são permutações de um conjunto, e a operação do grupo é a composição dessas permutações.

A combinação de duas permutações é outra permutação. Esta operação é associativa, uma é a permutação identidade (que deixa todos os elementos em suas posições originais), e cada permutação tem um inverso (que é a permutação que reverte a ação da permutação original).

Grupo Simétrico

Um dos exemplos mais importantes de grupos de permutações é o grupo simétrico. O grupo simétrico em n elementos, denotado por S n, consiste em todas as permutações possíveis de um conjunto de n elementos.

Por exemplo, o grupo simétrico em três elementos, S 3, consiste nas seguintes permutações do conjunto {1, 2, 3}:

Permutação identidade: ( ) Transposições simples: (12), (13), (23) Ciclos de comprimento 3: (123), (132)

Este grupo tem um total de 6 elementos, que é o fatorial de 3, 3!. Em geral, o número de elementos em S n é n!.

Exemplo visual

1 2 3 2 1 3

Teorema de Cayley

O teorema de Cayley afirma que todo grupo G é isomórfico a um subgrupo do grupo simétrico. Essencialmente, isso significa que qualquer grupo pode ser representado como um grupo de permutações. Este é um resultado profundo porque nos diz que os grupos de permutações não são apenas construções abstratas, mas sim subjacentes a toda a teoria dos grupos.

Exemplos e exercícios

Vamos trabalhar através de alguns exemplos e exercícios para entender melhor os grupos de permutações.

Exemplo 1: Composição de permutações

Considere as permutações no conjunto {1, 2, 3}: σ = (1 2) e τ = (2 3). Para encontrar a estrutura σ ∘ τ, aplicamos primeiro σ a τ e depois a cada elemento do conjunto.

Elemento Aplicar τ Aplicar σ
1 1 2
2 3 3
3 2 1 
σ ∘ τ = (1 3 2)

A permutação resultante equivale a mover de 1 para 3, 3 para 2, e 2 para 1, formando o ciclo (1 3 2).

Exemplo 2: Inverso de uma permutação

Vamos encontrar o inverso da permutação (1 3 2 4). Lembre-se que o inverso de uma permutação desfaz a permutação.

Permutação: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 Permutação inversa: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1

O inverso pode ser escrito em notação de ciclo como (4 1 3 2).

Exemplo 3: O grupo simétrico S 4

Considere o grupo simétrico S 4, que é o grupo de todas as permutações do conjunto {1, 2, 3, 4}. Este grupo tem 24 (4!) permutações. Aqui estão alguns exemplos:

Identidade: () Dois-ciclos: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) Três-ciclos: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... Quatro-ciclo: (1 2 3 4)

Cada permutação em S 4 pode ser expressa como um produto de ciclos disjuntos, ou como um produto de transposições (dois-ciclos).

Propriedades dos grupos de permutações

Permutações pares e ímpares

Uma permutação pode ser classificada como par ou ímpar dependendo do número de transposições necessárias para expressá-la. Uma permutação é par se ela pode ser expressa como o produto de um número par de transposições, e ímpar se requer um número ímpar.

Grupos alternados

O grupo alternado, denotado por A n, é o grupo de todas as permutações pares de um conjunto com n elementos. É um subgrupo do grupo simétrico S n e possui n! /2 elementos.

Por exemplo, em S 3, o grupo alternado A 3 contém as seguintes permutações:

Identidade: () Três-ciclos: (1 2 3), (1 3 2)

Conclusão

Os grupos de permutações são uma área fascinante e rica de estudo dentro da álgebra abstrata. Ao estudar como as permutações podem ser estruturadas em grupos, obtemos insights sobre muitas áreas da matemática e aplicações práticas que requerem uma compreensão de estruturas simétricas e combinatórias. Seja um grupo simétrico ou alternado, o poder conceitual de cada grupo de permutações nos ajuda a entender padrões complexos e operações de elementos em um cenário matemático bem definido.

Com os grupos de permutações, as formas de exploração adicional são ilimitadas, tocando tópicos profundos como topologia algébrica, teoria dos corpos e até mesmo algoritmos criptográficos. Dominar esses conceitos fornece uma base sólida para a compreensão de teorias matemáticas avançadas.


Graduação → 1.2.4


U
username
0%
concluído em Graduação

← Anterior (1.2.3)
Grupos cíclicos
Próximo (1.2.5) →
Homeomorfismo

Comentários 



Grupo de Permutações

https://www.buddymath.com/ug/1.2.4?bmal=pt