順列群
順列群は抽象代数学における重要な概念です。それらは群論の基本的な部分を形成し、群として知られる代数構造を探求する数学の一分野です。順列群を理解するためには、まず順列が何であるかを理解し、それがより広い群の理論にどのように適合するかを見ていく必要があります。
順列とは何か？
ある集合の順列とは、その要素の並べ替えです。例えば、3つの要素の集合{1, 2, 3}がある場合、順列の1つは{3, 2, 1}であり、別のものは{2, 1, 3}です。この順列では要素の順序が重要ですが、集合では順序は重要ではありません。
形式的には、n個の要素を持つ有限集合に対して、順列はその集合自体への二項関数です。この二項関数は単射（1対1）かつ全射（上への）であり、集合の全ての要素を漏れなく、または繰り返しなしに並べ替えます。
順列の表記法
順列を表す方法はいくつかあります。一般的な方法はサイクル表記を使用することです。サイクル表記では、順列をサイクルの積として書きます。サイクルとは、ある軌道で要素を回転させる部分集合の順列です。
例えば、順列(1 3 2)がある場合、1は3が以前いた位置に移動し、3は2が以前いた位置に移動し、2は1が以前いた位置に移動することを示しています。これがサイクルを形成します。サイクルに記載されていない要素は元の位置に残ります。
関数としての順列: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 サイクル表記での順列: (1 3 2)ここで、順列は1を3に、3を2に、2を1に置き換えます。
群とは何か？
順列群に具体的に入る前に、群という数学的概念を理解する必要があります。群は、4つの基本的な性質を満たす演算と組み合わせられた集合です：
- 閉じている: 群の中の任意のa, bに対して、演算(a * b)の結果も群に含まれる。
- 結合律: 群の任意のa, b, cに対して、(a * b) * c = a * (b * c)が成立する。
- 単位元: 群には単位元eが存在し、任意の要素aに対してe * a = a * e = aという式が成り立つ。
- 逆元: 群の任意の要素aに対して、a * b = b * a = eを満たす要素bが存在する。ここでeは単位元です。
これらの性質により、群は数学者が対称性や変換、その他の多くの概念を統一的な視点で理解する手助けをする構造を形成します。
群としての順列群
順列と群が何かを理解したので、順列群を定義できます。順列群は、要素が集合の順列である群であり、群演算はこれらの順列の合成です。
2つの順列の組み合わせは別の順列です。この演算は結合的であり、一つは要素を元の位置に留める単位順列であり、全ての順列には逆（元の順列の動作を逆にする順列）が存在します。
対称群
順列群の最も重要な例の1つは、対称群です。n個の要素に対する対称群は、S nで表され、n個の要素のすべての可能な順列から構成されます。
例えば、3つの要素に対する対称群S 3は、集合{1, 2, 3}の次の順列から成ります：
単位順列: ( ) 単一交換: (12), (13), (23) 3要素のサイクル: (123), (132)この群は全部で6要素あり、それは3の階乗、すなわち3!です。一般に、S nの要素数はn!です。
ビジュアル例
ケイリーの定理
ケイリーの定理は、任意の群Gが対称群の部分群に同型であることを示しています。基本的に、これはどの群も順列群として表現できることを意味します。これは、順列群が単なる抽象的な構造ではなく、群論全体の基盤になっていることを示す深い結果です。
例と演習
順列群をより深く理解するために、いくつかの例と演習を行いましょう。
例1: 順列の合成
集合{1, 2, 3}上の順列σ = (1 2)とτ = (2 3)を考えます。σ ∘ τの構造を見つけるには、最初にτをσに適用し、次に集合のそれぞれの要素に適用します。
| 要素 | τを適用 | σを適用 |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 |
σ ∘ τ = (1 3 2)結果として得られる順列は、1から3、3から2、2から1に移動し、サイクル(1 3 2)を形成します。
例2: 順列の逆
順列(1 3 2 4)の逆を求めましょう。順列の逆は、順列を元に戻すものです。
順列: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 逆順列: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1逆はサイクル表記で(4 1 3 2)と書くことができます。
例3: 対称群S 4
集合{1, 2, 3, 4}の全ての順列の群である対称群S 4を考えます。この群には24 (4!) の順列があります。以下はいくつかの例です：
単位: () 2サイクル: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) 3サイクル: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... 4サイクル: (1 2 3 4)S 4のすべての順列は、互いに素なサイクルの積として、あるいは交換（2サイクル）の積として表現できます。
順列群の特性
偶順列と奇順列
順列は、それを表現する交換の数に応じて偶数または奇数に分類できます。順列が偶数であるのは、それを表現する交換の数が偶数の積として表現できる場合で、奇数の積が必要な場合は奇数です。
交代群
交代群はA nとして表され、n個の要素を持つ集合のすべての偶順列の群です。これは対称群S nの部分群であり、要素数はn!/2です。
例えば、S 3の場合、交代群A 3は次の順列を含みます：
単位: () 3サイクル: (1 2 3), (1 3 2)結論
順列群は抽象代数学の中で非常に興味深く豊かな研究領域です。順列がどのように群として構造化され得るかを学ぶことによって、数学の多くの領域や対称的および組み合わせ構造の理解を必要とする実際の応用について洞察が得られます。対称群であれ交代群であれ、それぞれの順列群の概念的な力は、複雑なパターンや要素の操作をよく定義された数学的設定で理解するのに役立ちます。
順列群を使えば、代数的トポロジー、体論、さらには暗号アルゴリズムといった深いトピックに触れる無限の探求の道があります。これらの概念を習得することで、高度な数学理論を理解するための堅固な基盤が得られます。
コメント