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विन्यास समूह
विन्यास समूह अमूर्त बीजगणित में एक आवश्यक अवधारणा हैं। वे समूह सिद्धांत का एक मौलिक हिस्सा बनाते हैं, जो गणित की एक शाखा है जो समूहों के रूप में ज्ञात बीजगणितीय संरचनाओं का अन्वेषण करती है। विन्यास समूहों को समझने के लिए, हमें यह समझना होगा कि विन्यास क्या होते हैं और फिर देखना होगा कि वे समूहों के व्यापक सिद्धांत में कैसे फिट होते हैं।
विन्यास क्या है?
किसी सेट का विन्यास उसके तत्वों का पुनःक्रमण है। उदाहरण के लिए, अगर हमारे पास तीन तत्वों का सेट है, {1, 2, 3}, तो एक विन्यास {3, 2, 1} हो सकता है, दूसरा {2, 1, 3} हो सकता है, और इसी तरह। एक विन्यास में तत्वों के क्रम का महत्व होता है, जबकि एक सेट में क्रम महत्वहीन होता है।
औपचारिक रूप से, n तत्वों वाले एक सीमित सेट के लिए, एक विन्यास एक द्विआधारी फ़ंक्शन होता है जो सेट से सेट पर होता है। यह द्विआधारी फ़ंक्शन सम्मिलन् और संयुग्मन (उन्हें अनेकता या अनंतता में छोड़कर) होता है, अर्थात यह सेट के सभी तत्वों को पुनर्विन्यस्त कर देता है।
विन्यास के लिए संकेत
विन्यासों का प्रदर्शित करने के कई तरीके होते हैं। आम तरीका सायकल संकेत का उपयोग करना है। सायकल संकेत में, हम विन्यासों को सायकल के उत्पाद के रूप में लिखते हैं। एक सायकल तत्वों के एक उपसमूह का विन्यास होता है जो निश्चित कक्षा में तत्वों को घुमाता है।
उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास विन्यास (1 3 2) है, यह दिखाता है कि 1 उस स्थिति में जाता है जो पहले 3 द्वारा कब्जा की गई थी, 3 उस स्थिति में जाता है जो पहले 2 द्वारा कब्जा की गई थी, और 2 उस स्थिति में जाता है जो पहले 1 द्वारा कब्जा की गई थी। यह एक सायकल बनाता है। सायकल में उल्लेखित न होने वाला तत्व अपनी मूल स्थिति में रहता है।
विन्यास एक फ़ंक्शन के रूप में: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 सायकल संकेत में विन्यास: (1 3 2)यहाँ, विन्यास 1 को 3 से, 3 को 2 से और 2 को 1 से बदल देता है।
समूह क्या है?
विशेष रूप से विन्यास समूहों में जाने से पहले, हमें समूह की गणितीय अवधारणा को समझना चाहिए। एक समूह एक सेट होता है जो एक क्रिया के साथ संयुक्त होता है जो चार मौलिक गुणधर्मों को संतुष्ट करता है:
- समापन: समूह के प्रत्येक a, b के लिए, क्रिया (a * b) का परिणाम भी समूह में होता है।
- सहयोग्यता: समूह के प्रत्येक a, b और c के लिए, (a * b) * c = a * (b * c)।
- पहचान तत्व: एक समूह में एक तत्व e होता है ऐसा कि किसी भी तत्व a के लिए समीकरण e * a = a * e = a मान्य होता है।
- विलोम तत्व: समूह में प्रत्येक तत्व a के लिए, एक तत्व b होता है ऐसा कि a * b = b * a = e, जहां e पहचान तत्व होता है।
इन गुणधर्मों के साथ, समूह एक संरचना बनाते हैं जो गणितज्ञों को समरूपताओं, परिवर्तन और कई अन्य अवधारणाओं को एकीकृत दृष्टिकोण से समझने में मदद करते हैं।
विन्यास समूह एक समूह के रूप में
अब जब हम यह समझ गए हैं कि विन्यास और समूह क्या होते हैं, तो हम एक विन्यास समूह को परिभाषित कर सकते हैं। एक विन्यास समूह एक समूह है जहां तत्व एक सेट के विन्यास होते हैं और समूह की क्रिया इन विन्यासों की रचना होती है।
दो विन्यासों का संयोजन एक और विन्यास होता है। यह क्रिया संयोज्य होता है, एक पहचान विन्यास होता है (जो सभी तत्वों को उनकी मूल स्थिति में छोड़ देता है), और हर विन्यास का एक विलोम होता है (जो मूल विन्यास की क्रिया को पलटता है)।
समसूत्री समूह
विन्यास समूहों के सबसे महत्वपूर्ण उदाहरणों में से एक समसूत्री समूह है। n तत्वों के समसूत्री समूह, जिसका संकेत S n होता है, एक n तत्वों के सेट के सभी संभव विन्यासों का समुच्चय होता है।
उदाहरण के लिए, तीन तत्वों का समसूत्री समूह, S 3, सेट {1, 2, 3} के निम्नलिखित विन्यासों से बना होता है:
पहचान विन्यास: ( ) एकल अदला-बदली: (12), (13), (23) लंबाई 3 के सायकल: (123), (132)इस समूह में कुल 6 तत्व होते हैं, जो कि 3 का गुणनीय (फैक्टोरियल) है, 3!। सामान्यतः, S n में तत्वों की संख्या n! होती है।
दृश्य उदाहरण
कैली का प्रमेय
कैली का प्रमेय कहता है कि प्रत्येक समूह G समसूत्री समूह के उपसमूह के अनुरूप होता है। इसका मूल रूप से अर्थ यह है कि कोई भी समूह एक विन्यास समूह के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। यह एक गहन परिणाम है क्योंकि यह हमें बताता है कि विन्यास समूह न केवल अमूर्त निर्माण हैं, बल्कि समूह सिद्धांत के सभी आधारभूत तत्व होते हैं।
उदाहरण और अभ्यास
आइए कुछ उदाहरणों और अभ्यासों के माध्यम से विन्यास समूहों को और बेहतर तरीके से समझें।
उदाहरण 1: विन्यास रचना
सेट {1, 2, 3} पर विन्यासों पर विचार करें: σ = (1 2) और τ = (2 3)। संरचना σ ∘ τ को प्राप्त करने के लिए, हम पहले σ को τ पर और फिर सेट के प्रत्येक तत्व पर लागू करते हैं।
| तत्व | τ लागू करें | σ लागू करें |
|---|---|---|
| 1 | 1 | 2 |
| 2 | 3 | 3 |
| 3 | 2 | 1 |
σ ∘ τ = (1 3 2)परिणामी विन्यास 1 से 3, 3 से 2, और 2 से 1 की ओर जाने के बराबर है, जो सायकल (1 3 2) बनाता है।
उदाहरण 2: विन्यास का विलोम
आइए विन्यास (1 3 2 4) का विलोम खोजें। याद रखें कि विन्यास का विलोम उस विन्यास को पूर्ववत करता है।
विन्यास: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 विलोम विन्यास: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1सायकल संकेत में विलोम को (4 1 3 2) के रूप में लिखा जा सकता है।
उदाहरण 3: समसूत्री समूह S 4
समसूत्री समूह S 4 पर विचार करें, जो सेट {1, 2, 3, 4} का सभी विन्यासों का समूह है। इस समूह में 24 (4!) विन्यास होते हैं। यहाँ कुछ उदाहरण दिए गए हैं:
पहचान: () दो-अदला-बदली: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) तीन-अदला-बदली: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... चार-अदला-बदली: (1 2 3 4)S 4 में हर विन्यास को विघटित सायकलों के उत्पाद के रूप में, या अदला-बदली (दो-चक्रों) के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।
विन्यास समूहों के गुणधर्म
सम और विषम विन्यास
किसी विन्यास को सम या विषम के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है, उसके लिए आवश्यक अदला-बदली की संख्या के आधार पर। एक विन्यास सम होता है यदि इसे सम संख्या के अदला-बदली के उत्पाद के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, और विषम यदि इसे विषम संख्या में।
वैकल्पिक समूह
वैकल्पिक समूह, जिसका संकेत A n होता है, n तत्वों के सेट के सभी सम विन्यासों का समूह होता है। यह समसूत्री समूह S n का एक उपसमूह होता है और इसमें n! /2 तत्व होते हैं।
उदाहरण के लिए, S 3 में, वैकल्पिक समूह A 3 में निम्नलिखित विन्यास होते हैं:
पहचान: () तीन-अदला-बदली: (1 2 3), (1 3 2)निष्कर्ष
विन्यास समूह अमूर्त बीजगणित में एक दिलचस्प और समृद्ध अध्ययन क्षेत्र हैं। यह अध्ययन करके कि कैसे विन्यास समूहों में संरचित होते हैं, हम गणित के कई क्षेत्रों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में अंतर्दृष्टि प्राप्त करते हैं जिन्हें समरूप और संयोजकात्मक संरचनाओं की समझ की आवश्यकता होती है। चाहे वह समसूत्री हो या वैकल्पिक समूह, प्रत्येक विन्यास समूह के संकल्पनात्मक बल हमें जटिल पैटर्न और तत्वों के क्रियाओं को एक सुव्यवस्थित गणितीय सेटिंग में समझने में मदद करता है।
विन्यास समूहों के साथ, आगे खोज के मार्ग असीमित हैं, जो गहराई से विषयों जैसे बीजगणितीय स्थलाकृति, क्षेत्र सिद्धांत, और यहां तक कि क्रिप्टोग्राफ़िक एल्गोरिदम को छूते हैं। इन अवधारणाओं में महारत हासिल करना उन्नत गणितीय सिद्धांतों को समझने के लिए एक ठोस नींव प्रदान करता है।
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