Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Grupo de permutaciones


Los grupos de permutaciones son un concepto esencial en el álgebra abstracta. Forman una parte fundamental de la teoría de grupos, una rama de las matemáticas que explora estructuras algebraicas conocidas como grupos. Para entender los grupos de permutaciones, debemos comenzar entendiendo qué son las permutaciones y luego ver cómo encajan en la teoría más amplia de los grupos.

¿Qué es una permutación?

Una permutación de un conjunto es una reordenación de sus elementos. Por ejemplo, si tenemos un conjunto de tres elementos, {1, 2, 3}, entonces una permutación podría ser {3, 2, 1}, otra podría ser {2, 1, 3}, y así sucesivamente. En una permutación, el orden de los elementos importa, mientras que en un conjunto el orden no importa.

Formalmente, para un conjunto finito con n elementos, una permutación es una función binaria del conjunto sobre sí mismo. La función binaria es tanto inyectiva (uno a uno) como sobreyectiva (sobre), lo que significa que reorganiza todos los elementos del conjunto sin dejar o repetir ningún elemento.

Notación para permutaciones

Existen muchas formas de representar permutaciones. Una forma común es usar notación de ciclos. En la notación de ciclos, escribimos permutaciones como el producto de ciclos. Un ciclo es una permutación de un subconjunto de elementos que rota los elementos en una cierta órbita.

Por ejemplo, si tenemos la permutación (1 3 2), muestra que el 1 va a la posición que antes ocupaba el 3, el 3 va a la posición que antes ocupaba el 2, y el 2 va a la posición que antes ocupaba el 1. Esto forma un ciclo. El elemento no mencionado en el ciclo permanece en su posición original.

Permutación como función: σ = 1 -> 3 2 -> 1 3 -> 2 Permutación en notación de ciclos: (1 3 2)

Aquí, la permutación reemplaza el 1 con 3, el 3 con 2 y el 2 con 1.

¿Qué es un grupo?

Antes de profundizar específicamente en los grupos de permutación, debemos entender el concepto matemático de un grupo. Un grupo es un conjunto combinado con una operación que satisface cuatro propiedades fundamentales:

  1. Cierre: para cada a, b en el grupo, el resultado de la operación (a * b) también está en el grupo.
  2. Asociatividad: Para cada a, b, y c en el grupo, (a * b) * c = a * (b * c).
  3. Elemento identidad: Existe un elemento e en un grupo tal que para cualquier elemento a la ecuación e * a = a * e = a es válida.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento a en un grupo, existe un elemento b tal que a * b = b * a = e, donde e es el elemento identidad.

Con estas propiedades, los grupos forman una estructura que ayuda a los matemáticos a entender simetrías, transformaciones y muchos otros conceptos desde una perspectiva unificada.

Grupo de permutaciones como un grupo

Ahora que entendemos qué son las permutaciones y los grupos, podemos definir un grupo de permutaciones. Un grupo de permutaciones es un grupo donde los elementos son permutaciones de un conjunto, y la operación del grupo es la composición de estas permutaciones.

La combinación de dos permutaciones es otra permutación. Esta operación es asociativa, una es la permutación identidad (que deja todos los elementos en sus posiciones originales), y cada permutación tiene un inverso (que es la permutación que invierte la acción de la permutación original).

Grupo simétrico

Uno de los ejemplos más importantes de grupos de permutaciones es el grupo simétrico. El grupo simétrico sobre n elementos, denotado S n, consiste en todas las permutaciones posibles de un conjunto de n elementos.

Por ejemplo, el grupo simétrico sobre tres elementos, S 3, está compuesto por las siguientes permutaciones del conjunto {1, 2, 3}:

Permutación identidad: ( ) Transposiciones simples: (12), (13), (23) Ciclos de longitud 3: (123), (132)

Este grupo tiene un total de 6 elementos, que es el factorial de 3, 3!. En general, el número de elementos en S n es n!.

Ejemplo visual

1 2 3 2 1 3

Teorema de Cayley

El teorema de Cayley establece que cada grupo G es isomorfo a un subgrupo del grupo simétrico. En esencia, esto significa que cualquier grupo puede ser representado como un grupo de permutaciones. Este es un resultado profundo porque nos dice que los grupos de permutaciones no son solo construcciones abstractas, sino que en realidad subyacen a toda la teoría de grupos.

Ejemplos y ejercicios

Trabajemos con algunos ejemplos y ejercicios para entender mejor los grupos de permutaciones.

Ejemplo 1: Composición de permutaciones

Considera las permutaciones en el conjunto {1, 2, 3}: σ = (1 2) y τ = (2 3). Para encontrar la estructura σ ∘ τ, primero aplicamos σ a τ y luego a cada elemento del conjunto.

Elemento Aplicar τ Aplicar σ
1 1 2
2 3 3
3 2 1 
σ ∘ τ = (1 3 2)

La permutación resultante es equivalente a moverse de 1 a 3, de 3 a 2, y de 2 a 1, formando el ciclo (1 3 2).

Ejemplo 2: Inverso de una permutación

Vamos a encontrar el inverso de la permutación (1 3 2 4). Recuerda que el inverso de una permutación deshace la permutación.

Permutación: 1 -> 3 3 -> 2 2 -> 4 4 -> 1 Permutación inversa: 1 -> 4 4 -> 2 2 -> 3 3 -> 1

El inverso se puede escribir en notación de ciclos como (4 1 3 2).

Ejemplo 3: El grupo simétrico S 4

Considera el grupo simétrico S 4, que es el grupo de todas las permutaciones del conjunto {1, 2, 3, 4}. Este grupo tiene 24 (4!) permutaciones. Aquí hay algunos ejemplos:

Identidad: () Dos-ciclos: (1 2), (1 3), (1 4), (2 3), (2 4), (3 4) Tres-ciclos: (1 2 3), (1 3 4), (2 3 4), ... Cuatro-ciclo: (1 2 3 4)

Cada permutación en S 4 puede expresarse como un producto de ciclos disjuntos, o como un producto de transposiciones (dos-ciclos).

Propiedades de los grupos de permutaciones

Permutaciones pares e impares

Una permutación puede clasificarse como par o impar dependiendo del número de transposiciones requeridas para expresarla. Una permutación es par si se puede expresar como el producto de un número par de transposiciones, e impar si requiere un número impar.

Grupos alternantes

El grupo alternante, denotado A n, es el grupo de todas las permutaciones pares de un conjunto con n elementos. Es un subgrupo del grupo simétrico S n y tiene n! /2 elementos.

Por ejemplo, en S 3, el grupo alternante A 3 contiene las siguientes permutaciones:

Identidad: () Tres-ciclos: (1 2 3), (1 3 2)

Conclusión

Los grupos de permutaciones son un área fascinante y rica de estudio dentro del álgebra abstracta. Al estudiar cómo las permutaciones pueden estructurarse en grupos, obtenemos información sobre muchas áreas de las matemáticas y aplicaciones prácticas que requieren entender estructuras simétricas y combinatorias. Ya sea un grupo simétrico o alternante, el poder conceptual de cada grupo de permutaciones nos ayuda a comprender patrones complejos y operaciones de elementos en un entorno matemático bien definido.

Con los grupos de permutaciones, las formas de exploración futura son ilimitadas, tocando temas profundos como la topología algebraica, la teoría de campos e incluso algoritmos criptográficos. Dominar estos conceptos proporciona una base sólida para comprender teorías matemáticas avanzadas.


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