子群
在抽象代数中，子群是一个概念，使我们能够理解和探索群的构建块，这是数学中最基本的结构之一。群本身提供了一种研究对称性和变换的方法，在物理学、化学和计算机科学等各个领域都出现。理解子群很重要，因为它们构成了代数中许多更高级理论和概念的基础，例如商群和单群。
什么是群？
在讨论子群之前，让我们快速回忆一下什么是群。群是一个集合 G 以及一个运算（我们称之为 *），它满足四个主要性质：
- 闭合性： 对于
G中的所有元素a和b，运算结果a * b也属于G。 - 结合性： 对于
G中的所有元素a、b和c，等式(a * b) * c = a * (b * c)是有效的。 - 单位元： 存在一个元素
e在G中，使得对于G中的每个元素a，等式e * a = a * e = a是有效的。 - 逆元素： 对于
G中的每一个元素a，在G中存在一个元素b，以使得a * b = b * a = e，其中e是单位元素。
一个简单的群的例子是整数在加法下构成的群，其中单位元素是 0，任何整数 a 的逆元素是 -a。
子群的定义
子群是群的一个子集，它在相同的运算下自身也是一个群。根据正式定义，假设 (G, *) 是一个群。子群 H 是 G 的一个子集，它在运算 * 下形成一个群。这意味着 H 必须通过与 G 相同的运算 * 来满足闭合性、结合性、单位元和逆元素的群性质
记号
如果 H 是 G 的子群，我们写作 H ≤ G。有时，根据文献，你可能还会看到 H ⊆ G，但隐含的理解是 H 是一个子群。
视觉示例
大圆代表群 G，而内的小圆表示子群 H
子群的性质
为了验证 H 是否是群 G 的子群，我们使用这些从群公理中简化的标准：
- 闭合性： 对于
H中的每对元素a和b，积a * b也在H中。 - 单位元： 群
G的单位元在H中 - 逆： 对于
H中的每个元素a，其逆元素a -1也在H中
检查这些条件往往比检查整体群性质更容易。
例子：整数的子群
考虑群 (ℤ, +)，即满足加法的所有整数的集合。让我们探讨一些子集：
- 偶整数集
2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}是ℤ的一个子群。它满足闭合性（两个偶数的和是偶数），包含单位元（0 是偶数），且每个元素都有逆元素（如果2a是偶数，那么-2a也为偶数）。 - 集
ℤ + = {1, 2, 3, ...}不是 子群，因为它不包含单位元 0，且正整数的逆元素不是正的。
子群测试
一种更复杂的方法来检查 G 的子集 H 是否为子群的方法被称为子群测试。如果 H 不为空，且对于 H 中的所有元素 a、b，元素 a * b -1 也在 H 中，则 H 为子群。
子群测试：H≠ ∅ 2. 对于a, b在H中，a * b -1在H中
此测试在简化证明时尤其有用，特别是在抽象代数研究中。
查看子群运算
这些线表示子群 H 内的运算 *，保持元素在子群内。在这里，a * b -1 在 H 中验证了具有逆元素的闭合性。
子群类型
有几种具有独特性质的特殊子群类型。让我们来探讨一些这些：
平凡子群
最基本的子群称为平凡子群。它只包含群的单位元素，即 {e} 其中 e 是 G 的单位元素。每个群 G 至少有一个平凡子群。
真子群
真子群 是不等于整个群的子群。如果 H 是 G 的子群且 H ≠ G，则 H 是一个真子群。例如，偶整数群是整数的一个真子群。
群的中心
一个更加有趣的子群是群的中心 Z(G)。它由 G 中所有与 G 中每个元素交换的元素组成，即 Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z for all g ∈ G}。群的中心始终是一个子群。
例子与练习
让我们看看一些例子，并尝试确定哪些子集构成子群：
例子 1
考虑非零实数组成的乘法群 (ℝ*, ⋅)。确定正实数组成的子集 ℝ + 是否是一个子群。
- 完成性：两个正数的乘积是正数。 - 单位元：单位元素是 1，它是正数。 - 逆元素：任何正数的倒数也是正数。 因此，ℝ +是ℝ*的子群。
例子 2
检查加法下的整数群 (ℤ, +) 是否包含由 3 的倍数组成的子群 3ℤ。
- 完成性：两个 3 的倍数之和是 3 的倍数。 - 单位元：0 这个 3 的倍数在群中。 - 逆元素：任何 3 的倍数的逆元素（加法下）也是 3 的倍数。 因此，3ℤ是ℤ的子群。
练习 1
考虑对称群 S 3，即由三个元素构成的所有置换的群。列出可能的子群并验证其中一个。
S 3的子群：单位元素{}，子群{(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}，以及由这些生成的任意两个元素构成的群。- 证明
{(1), (1 2)}是一个子群。
- 闭合性：考虑每个元素组合（例如，(1 2) * (1 2) = (1)）。 - 单位元：单位(1)存在。 - 逆元素：每个元素都是它自己的逆元素。 因此，{(1), (1 2)}是S 3的子群。
通过这些练习和例子，可以增强对子群及其在群论更广泛框架中性质的理解。当你练习识别和处理子群时，会对它们在抽象代数中的作用有更深刻的理解。
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