Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Алгебра → Абстрактная алгебра ↓


Подгруппы


В абстрактной алгебре подгруппы — это концепция, которая позволяет нам понимать и исследовать строительные блоки групп, одной из фундаментальных структур в математике. Сами группы предоставляют способ изучать симметрии и преобразования, которые появляются в различных областях, таких как физика, химия и информатика. Понимание подгрупп важно, потому что они формируют основу для многих более сложных теорий и концепций в алгебре, таких как факторные группы и простые группы.

Что такое группа?

Прежде чем перейти к подгруппам, давайте быстро вспомним, что такое группа. Группа — это множество G, объединенное с операцией (назовем ее *), которая удовлетворяет четырем основным свойствам:

  1. Замкнутость: для всех элементов a, b в G, результат операции a * b также принадлежит G.
  2. Ассоциативность: для всех элементов a, b, c в G уравнение (a * b) * c = a * (b * c) верно.
  3. Единичный элемент: Существует элемент e в G, такой что для каждого элемента a в G уравнение e * a = a * e = a верно.
  4. Обратный элемент: Для каждого элемента a в G существует элемент b в G, такой что a * b = b * a = e, где e — единичный элемент.

Простой пример группы — это группа целых чисел при сложении, где единичный элемент — это 0, а обратным для любого целого числа a является -a.

Определение подгруппы

Подгруппа — это подгруппа группы, которая сама является группой с той же операцией. Согласно формальному определению, предположим, что (G, *) — это группа. Подгруппа H группы G — это подгруппа G, которая формирует группу с операцией *. Это означает, что H должна удовлетворять свойствам группы: замкнутости, ассоциативности, наличия единичного и обратного элементов, используя ту же операцию * как в G.

Нотация

Если H — подгруппа G, мы пишем H ≤ G. Иногда, в зависимости от литературы, можно встретить H ⊆ G, но с подразумеванием, что H — подгруппа.

Визуальный пример

H Да

Большой круг представляет группу G, а меньший круг внутри него представляет подгруппу H.

Свойства подгрупп

Чтобы проверить, что H — подгруппа группы G, мы используем следующие сокращенные критерии из аксиом группы:

  1. Замкнутость: для каждой пары элементов a, b в H, произведение a * b тоже принадлежит H.
  2. Единичный элемент: Единичный элемент группы G принадлежит H.
  3. Обратный элемент: Для каждого элемента a в H обратный элемент a -1 тоже принадлежит H.

Проверка этих условий часто проще, чем проверка всех свойств группы.

Пример: Подгруппа целых чисел

Рассмотрим группу (ℤ, +), которая представляет собой множество всех целых чисел при сложении. Давайте исследуем некоторые подмножества:

  • Множество четных чисел 2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} является подгруппой ℤ. Оно удовлетворяет замкнутости (сумма двух четных чисел четна), содержит единичный элемент (0 — четное число) и каждое число имеет обратный элемент (если 2a четно, то -2a тоже четно).
  • Множество ℤ + = {1, 2, 3, ...} не является подгруппой, так как не содержит 0, единичного элемента, и обратные элементы положительных чисел не положительны.

Тестирование подгрупп

Еще более сложный способ проверки является ли подмножество H группы G подгруппой, известен как тест подгруппы. Если H не пусто и для всех элементов a, b в H элемент a * b -1 тоже принадлежит H, то H является подгруппой.

Тест подгруппы:
H ≠ ∅
2. Для всех a, b в H a * b -1 принадлежит H

Этот тест особенно полезен для упрощения доказательств, особенно в исследованиях абстрактной алгебры.

Наблюдение операций в подгруппе

A B a * b -1 H

Линии представляют операцию * внутри подгруппы H, удерживая элементы внутри подгруппы. Здесь a * b -1 внутри H проверяет замкнутость с обратным элементом.

Типы подгрупп

Существует несколько специальных типов подгрупп, обладающих уникальными свойствами. Давайте рассмотрим некоторые из них:

Тривиальные подгруппы

Наиболее простая подгруппа называется тривиальной подгруппой. Она содержит только единичный элемент группы, т.е. {e}, где e — это единичный элемент группы G. Каждая группа G имеет по крайней мере одну тривиальную подгруппу.

Собственные подгруппы

Собственная подгруппа — это подгруппа, которая не равна всей группе. Если H является подгруппой G и H ≠ G, то H является собственной подгруппой. Например, группа четных чисел является собственной подгруппой группы целых чисел.

Центр группы

Гораздо более интересная подгруппа — это центр группы Z(G). Она состоит из всех элементов G, которые коммутируют с каждым элементом G, т.е. Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z для всех g ∈ G}. Центр группы всегда является подгруппой.

Примеры и упражнения

Давайте рассмотрим несколько примеров и попытаемся определить, какие подмножества формируют подгруппу:

Пример 1

Рассмотрим множество (ℝ*, ⋅) ненулевых действительных чисел при умножении. Определите, является ли подмножество ℝ + положительных действительных чисел подгруппой.

- Замкнутость: произведение двух положительных чисел положительно.
- Единичный элемент: единичный элемент — это 1, который является положительным.
- Обратный элемент: обратный элемент любого положительного числа тоже положителен.

Таким образом, ℝ + — это подгруппа ℝ*.

Пример 2

Проверьте, содержит ли группа целых чисел при сложении, (ℤ, +), подгруппу, образуемую группой кратных 3, 3ℤ.

- Замкнутость: сумма двух кратных 3 чисел кратна 3.
- Единичный элемент: число 0, которое кратно 3, находится в группе.
- Обратный элемент: обратный элемент (по сложению) любого кратного 3 числа также кратен 3.

Таким образом, 3ℤ — это подгруппа ℤ.

Упражнение 1

Рассмотрите симметрическую группу S 3, которая является группой всех перестановок трех элементов. Перечислите возможные подгруппы и подтвердите одну из них.

  • Подгруппы S 3: идентитет {}, подгруппы {(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)} и любая группа, порожденная двумя из этих элементов.
  • Доказать, что {(1), (1 2)} — это подгруппа.
- Замкнутость: рассмотрите каждую комбинацию элементов (например, (1 2) * (1 2) = (1)).
- Единичный элемент: элемент (1) существует.
- Обратный элемент: каждый элемент является своим обратным.

Таким образом, {(1), (1 2)} — это подгруппа S 3.

Через эти упражнения и примеры можно улучшить понимание подгрупп и их свойств в более широком контексте теории групп. Практикуясь в идентификации и работе с подгруппами, вы разовьете более глубокое понимание их роли в абстрактной алгебре.


Бакалавриат → 1.2.2


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (1.2.1)
Группа
следующая (1.2.3) →
Циклические группы

комментарии 



Подгруппы

https://www.buddymath.com/ug/1.2.2?bmal=ru