Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Subgrupos


Na álgebra abstrata, subgrupos são um conceito que nos permite compreender e explorar os blocos de construção dos grupos, uma das estruturas fundamentais da matemática. Os grupos, por sua vez, fornecem uma maneira de estudar simetrias e transformações, que aparecem em várias áreas, como física, química e ciência da computação. Compreender subgrupos é importante porque eles formam a base de muitas teorias e conceitos mais avançados na álgebra, como grupos quociente e grupos simples.

O que é um grupo?

Antes de passar para os subgrupos, vamos relembrar rapidamente o que é um grupo. Um grupo é um conjunto G combinado com uma operação (vamos chamá-la de *) que satisfaz quatro propriedades principais:

  1. Fechamento: para todos os elementos a, b em G, o resultado da operação a * b também está em G.
  2. Associatividade: para todos os elementos a, b, c em G, a equação (a * b) * c = a * (b * c) é válida.
  3. Elemento identidade: Existe um elemento e em G tal que para todo elemento a em G a equação e * a = a * e = a é válida.
  4. Elemento inverso: Para todo elemento a em G, há um elemento b em G tal que a * b = b * a = e, onde e é o elemento identidade.

Um exemplo simples de um grupo é o grupo dos inteiros sob adição, onde o elemento identidade é 0, e o inverso de qualquer inteiro a é -a.

Definindo um subgrupo

Um subgrupo é um subgrupo de um grupo que é ele próprio um grupo com a mesma operação. De acordo com a definição formal, suponha que (G, *) seja um grupo. Um subgrupo H de G é um subgrupo de G que forma um grupo com a operação *. Isso significa que H deve satisfazer as propriedades de grupo de fechamento, associatividade, identidade e inverso usando a mesma operação * que G

Notação

Se H é um subgrupo de G, escrevemos H ≤ G. Às vezes, dependendo da literatura, você também pode encontrar H ⊆ G, mas com o entendimento implícito de que H é um subgrupo.

Exemplo visual

H Sim

O círculo maior representa o grupo G, e o círculo menor dentro dele representa o subgrupo H

Propriedades dos subgrupos

Para verificar se H é um subgrupo de um grupo G, usamos esses critérios reduzidos dos axiomas do grupo:

  1. Fechamento: para cada par de elementos a, b em H, o produto a * b também está em H.
  2. Identidade: O elemento identidade de G está em H
  3. Inverso: Para todo elemento a em H, o elemento inverso a -1 também está em H

Verificar essas condições geralmente é mais fácil do que verificar as propriedades gerais do grupo.

Exemplo: Subgrupo dos inteiros

Considere o grupo (ℤ, +), que é o conjunto de todos os inteiros sujeitos à adição. Vamos explorar alguns subconjuntos:

  • O conjunto dos inteiros pares 2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} é um subgrupo de ℤ. Ele satisfaz o fechamento (a soma de dois números pares é par), contém a identidade (0 é um inteiro par) e todo elemento tem um inverso (se 2a é par, então -2a também é par).
  • O conjunto ℤ + = {1, 2, 3, ...} não é um subgrupo, pois não contém 0, o elemento identidade, e os recíprocos dos inteiros positivos não são positivos.

Teste de subgrupo

Uma maneira ainda mais sofisticada de verificar se um subconjunto H de G é um subgrupo é conhecido como o teste de subgrupo. Se H não é vazio e para todos os elementos a, b em H, o elemento a * b -1 também está em H, então H é um subgrupo.

Testes de subgrupo:
H ≠ ∅
2. Para todos a, b em H, a * b -1 está em H

Esse teste é particularmente útil na simplificação de provas, especialmente em pesquisas algébricas abstratas.

Visualizando operações de subgrupo

A B a * b -1 H

As linhas representam a operação * dentro do subgrupo H, mantendo os elementos dentro do subgrupo. Aqui, a * b -1 dentro de H verifica o fechamento com inverso.

Tipos de subgrupos

Existem vários tipos especiais de subgrupos que têm propriedades únicas. Vamos explorar alguns deles:

Subgrupos triviais

O subgrupo mais básico é chamado de o subgrupo trivial. Ele contém apenas o elemento identidade do grupo, isto é, {e}, onde e é o elemento identidade de G. Todo grupo G tem pelo menos um subgrupo trivial.

Subgrupos próprios

Um subgrupo próprio é um subgrupo que não é igual ao grupo todo. Se H é um subgrupo de G e H ≠ G, então H é um subgrupo próprio. Por exemplo, o grupo dos inteiros pares é um subgrupo próprio dos inteiros.

Centro do grupo

Um subgrupo muito mais interessante é o centro de um grupo Z(G). Ele consiste em todos os elementos de G que comutam com todos os outros elementos de G, isto é, Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z para todo g ∈ G}. O centro de um grupo é sempre um subgrupo.

Exemplos e exercícios

Vamos dar uma olhada em alguns exemplos e tentar determinar quais subconjuntos formam um subgrupo:

Exemplo 1

Considere o conjunto (ℝ*, ⋅) de números reais não nulos sob multiplicação. Determine se o subconjunto ℝ + de números reais positivos é um subgrupo.

- Fechamento: O produto de dois números positivos é positivo.
- Identidade: O elemento identidade é 1, que é positivo.
- Recíproco: O recíproco de qualquer número positivo também é positivo.

Assim, ℝ + é um subgrupo de ℝ*.

Exemplo 2

Verifique se o grupo dos inteiros sob adição, (ℤ, +), contém um subgrupo formado pelo grupo dos múltiplos de 3, 3ℤ.

- Fechamento: A soma de dois múltiplos de 3 é um múltiplo de 3.
- Identidade: o número 0, que é um múltiplo de 3, está no grupo.
- Recíproco: O recíproco (sob adição) de qualquer múltiplo de 3 também é um múltiplo de 3.

Assim, 3ℤ é um subgrupo de ℤ.

Exercício 1

Considere o grupo simétrico S 3, que é o grupo de todas as permutações de três elementos. Liste os possíveis subgrupos e verifique um deles.

  • Subgrupos de S 3: a identidade {}, os subgrupos {(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)} e qualquer grupo gerado por dois desses.
  • Prove que {(1), (1 2)} é um subgrupo.
- Fechamento: considere cada combinação de elementos (por exemplo, (1 2) * (1 2) = (1)).
- Identidade: A identidade (1) existe.
- Inverso: Cada elemento é seu próprio inverso.

Assim, {(1), (1 2)} é um subgrupo de S 3.

Por meio desses exercícios e exemplos, pode-se melhorar o entendimento dos subgrupos e suas propriedades dentro do quadro mais amplo da teoria dos grupos. Ao praticar a identificação e trabalhar com subgrupos, você desenvolverá uma compreensão mais profunda de seu papel na álgebra abstrata.


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