サブグループ

抽象代数学において、サブグループは、数学の基本構造の1つであるグループの構成要素を理解し、探求するための概念です。グループ自体は、物理学、化学、コンピュータサイエンスなどのさまざまな分野に現れる対称性や変換を研究する方法を提供します。サブグループを理解することは、因子群や単純群など、代数学における多くの高度な理論や概念の基礎を形成するため、重要です。

グループとは何ですか？

サブグループに進む前に、グループとは何かを簡単に振り返りましょう。グループは、操作（*としましょう）と組み合わせた集合Gで、次の4つの主要な特性を満たすものです：

1. 閉包性: すべての要素a、bがGにある場合、操作a * bの結果もGに含まれます。
2. 結合性: すべての要素a、b、cがGにある場合、方程式(a * b) * c = a * (b * c)は有効です。
3. 単位元: Gに要素eが存在し、Gのすべての要素aに対して方程式e * a = a * e = aが有効です。
4. 逆元: Gのすべての要素aに対して、Gに要素bが存在し、a * b = b * a = eが成り立ちます。ここで、eは単位元です。

グループの簡単な例としては、加法の下での整数のグループがあり、単位元は0であり、任意の整数aの逆元は-aです。

サブグループの定義

サブグループは、それ自体が同じ操作を持つグループであるグループの部分グループです。正式な定義によれば、(G, *)がグループであるとします。サブグループHは、操作*を持つGの部分グループであり、グループを形成します。これはHが閉包性、結合性、単位元、逆元のグループ性質を満たす必要があり、Gと同じ操作*を使用することを意味します。

記法

HがGのサブグループである場合、H ≤ Gと書きます。時折、文学によってはH ⊆ Gと書かれることもありますが、Hがサブグループであるという暗黙の理解があります。

視覚的な例

大きな円はグループGを表し、その中の小さな円がサブグループHを表しています。

サブグループの性質

HがグループGのサブグループであることを確認するために、次のグループ公理からの簡略化された基準を使用します：

1. 閉包性: H内のすべての要素a、bに対して、積a * bもHに含まれます。
2. 単位元: Gの単位元がHに含まれます。
3. 逆元: H内のすべての要素aに対して、逆元a -1もHに含まれます。

これらの条件を確認することは、全体的なグループ特性を確認するよりも簡単です。

例: 整数のサブグループ

加法に従う全整数の集合(ℤ, +)を考え、いくつかの部分集合を探求しましょう：

• 偶数の集合2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...}はℤのサブグループです。それは閉包性（偶数の和は偶数）、単位元（0は偶数）、およびすべての要素の逆元（2aが偶数であれば、-2aも偶数）が含まれるという条件を満たします。
• 集合ℤ + = {1, 2, 3, ...}はサブグループではありません。それは単位元0を含まず、正の整数の逆数は正ではないためです。

サブグループテスト

集合HがGのサブグループであるかどうかを確認する、より高度な方法がサブグループテストとして知られています。Hが空でなく、H内のすべての要素a、bに対して、要素a * b -1がHにも含まれる場合、Hはサブグループです。

サブグループテスト:
H ≠ ∅
2. H内のすべてのa, bに対して、a * b -1がHに含まれます。

このテストは証明の簡略化に特に役立ち、特に抽象代数の研究において便利です。

サブグループの操作を視覚化

線はサブグループH内の操作*を表し、要素をサブグループ内に保ちます。ここでは、H内のa * b -1が逆を持つ閉包性を確認します。

サブグループの種類

サブグループには、独自の特性を持ついくつかの特別な種類があります。それらの一部を探求しましょう：

自明なサブグループ

最も基本的なサブグループは自明なサブグループと呼ばれます。それにはグループの単位元だけが含まれます。すべてのグループGには、少なくとも1つの自明なサブグループがあります。

真のサブグループ

真のサブグループは、全体のグループとは異なるサブグループです。HがGのサブグループであり、H ≠ Gの場合、Hは真のサブグループです。たとえば、偶数のグループは整数の真のサブグループです。

グループの中心

さらに興味深いサブグループは、グループZ(G)の中心です。それは、グループGのすべての他の要素と可換するGのすべての要素から成ります。すなわち、Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z for all g ∈ G}です。グループの中心は常にサブグループです。

例と練習問題

いくつかの例を見て、どの部分集合がサブグループを形成するかを判断してみましょう：

例1

掛け算の下での非ゼロ実数の集合(ℝ*, ⋅)を考えます。正の実数の部分集合ℝ +がサブグループであるかどうかを判断します。

- 完了：正の数の積は正です。
- 単位元：単位元は1で、正です。
- 逆数：任意の正の数の逆数も正です。

したがって、ℝ +はℝ*のサブグループです。

例2

加法の下での整数のグループ(ℤ, +)が、3の倍数のグループ3ℤで形成されたサブグループを含むかどうかを確認します。

- 完了：3の倍数の和は3の倍数です。
- 単位元：3の倍数である数0はグループに含まれます。
- 逆数：3の倍数の逆数（加法の下で）は3の倍数です。

したがって、3ℤはℤのサブグループです。

練習問題1

3つの要素のすべての置換の群である対称群S 3を考えます。可能なサブグループをリストアップし、そのうち1つを検証します。

• S 3のサブグループ:単位元{}、サブグループ{(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}、およびこれらのうち2つで生成された任意の群。
• {(1), (1 2)}がサブグループであることを証明します。

- 閉包性：要素の各組み合わせを考慮（例：(1 2) * (1 2) = (1)）。
- 単位元：単位元(1)が存在します。
- 逆数：すべての要素は自身の逆数です。

したがって、{(1), (1 2)}はS 3のサブグループです。

これらの練習問題と例を通じて、サブグループとその性質をグループ理論のより広い枠組みの中で理解を深めることができます。サブグループの識別と操作を練習することで、抽象代数学におけるサブグループの役割をより深く理解することができます。

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