उपसमूह

अमूर्त बीजगणित में, उपसमूह एक अवधारणा है जो हमें समूहों के निर्माण खंडों को समझने और अन्वेषण करने में मदद करती है, जो गणित में एक मौलिक संरचना है। समूह स्वयं समरूपता और परिवर्तन का अध्ययन करने का एक तरीका प्रदान करते हैं, जो भौतिकी, रसायन विज्ञान, और कंप्यूटर विज्ञान जैसे विविध क्षेत्रों में प्रकट होते हैं। उपसमूहों को समझना महत्वपूर्ण है क्योंकि वे बीजगणित में कारक समूहों और सरल समूहों जैसी अधिक उन्नत सिद्धांतों और अवधारणाओं का आधार बनते हैं।

समूह क्या है?

उपसमूहों पर जाने से पहले, चलो जल्दी से याद कर लेते हैं कि समूह क्या होता है। एक समूह एक सेट G है जिसे एक ऑपरेशन (मान लें इसे * कहा जाता है) के साथ जोड़ा जाता है जो चार मुख्य गुणों को संतोषजनक बनाता है:

1. समापन: सभी तत्वों a, b के लिए G में, ऑपरेशन a * b का परिणाम भी G में होता है।
2. सहसंयोजकता: सभी तत्वों a, b, c के लिए G में, समीकरण (a * b) * c = a * (b * c) मान्य होता है।
3. पहचान तत्व: G में एक तत्व e होता है ताकि हर तत्व a के लिए G में, समीकरण e * a = a * e = a मान्य होता है।
4. व्युत्क्रम तत्व: हर तत्व a के लिए G में, एक तत्व b होता है G में ताकि a * b = b * a = e, जहां e पहचान तत्व है।

समूह का एक साधारण उदाहरण पूर्णांकों का समूह होता है समाहरण के तहत, जहां पहचान तत्व 0 होता है और किसी भी पूर्णांक a का व्युत्क्रम -a होता है।

एक उपसमूह की परिभाषा

एक उपसमूह एक समूह का उपसमूह होता है जो स्वयं एक समूह होता है उसी ऑपरेशन के साथ। औपचारिक परिभाषा के अनुसार, मान लें (G, *) एक समूह है। एक उपसमूह H का G का उपसमूह है जो * ऑपरेशन के साथ एक समूह बनाते हैं। इसका अर्थ है कि H को बंद होनी चाहिए, सहसंयोजकता, पहचान और व्युत्क्रम समूह गुण के साथ होना चाहिए,* ऑपरेशन का उपयोग करते हुए जैसे G

सूचना

यदि H एक उपसमूह है G का, हम लिखते हैं H ≤ G कभी-कभी, साहित्य के अनुसार, आप H ⊆ G भी पा सकते हैं, लेकिन इस धारणाएँ के साथ कि H एक उपसमूह है।

दृश्य उदाहरण

बड़ी वृत्त G को दर्शाती है, और उसमें छोटी वृत्त उपसमूह H को दर्शाती है

उपसमूहों के गुण

इस बात की पुष्टि करने के लिए कि H एक उपसमूह है G का, हम इन घटित मानदंडों का उपयोग करते हैं समूह के सिद्धांत से:

1. समापन: हर जोड़े के तत्व a, b के लिए H में, उत्पाद a * b भी H में होता है।
2. पहचान: G का पहचान तत्व H में होता है
3. व्युत्क्रम: हर तत्व a के लिए H में, व्युत्क्रम तत्व a -1 भी H में होता है

इन शर्तों के लिए जाँच करना अक्सर समग्र समूह गुणों की जाँच की तुलना में आसान होता है।

उदाहरण: पूर्णांकों का उपसमूह

समूह पर विचार करें (ℤ, +), जो सभी पूर्णांकों का समूह है जो सम्मिलन के अधीन होता है। कुछ उपसमूहों को देखें:

• सम समूह 2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} एक उपसमूह है ℤ का। यह समापन संतोषजनक करता है (दो सम संख्याओं का योग सम होता है), पहचान शामिल है (0 एक सम संख्या है), और प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम होता है (यदि 2a सम है, तो -2a भी सम होता है)।
• समूह ℤ + = {1, 2, 3, ...} उपसमूह नहीं है क्योंकि इसमें 0 शामिल नहीं है, पहचान तत्व, और सकारात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रम सकारात्मक नहीं होते।

उपसमूह परीक्षण

एक और भी अधिक संज्ञानात्मक तरीका यह जांचने का कि एक उपसमूह H का G है उपसमूह परीक्षण के रूप में जाना जाता है। यदि H खाली नहीं है और सभी तत्व a, b के लिए H में, तत्व a * b -1 भी H में होता है, तो H एक उपसमूह है।

उपसमूह परीक्षण:
H ≠ ∅
2. सभी a, b के लिए H में, a * b -1 H में होता है

यह परीक्षण विशेष रूप से प्रमाणों को सरल बनाने में उपयोगी होता है, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणितीय अनुसंधान में।

उपसमूह ऑपरेशनों को देखना

रेखाएं उपसमूह H के अंदर का ऑपरेशन * दर्शाती हैं, तत्वों को उपसमूह के अंदर रखने के लिए। यहां, a * b -1 H के अंदर समापन को व्युत्क्रम के साथ सत्यापित करता है।

उपसमूह के प्रकार

कई विशेष प्रकार के उपसमूह होते हैं जिनके अद्वितीय गुण होते हैं। आइए कुछ इनका अन्वेषण करें:

शून्य उपसमूह

सबसे बुनियादी उपसमूह को शून्य उपसमूह कहा जाता है। इसमें केवल पहचान तत्व होता है, यानि {e} जहां e समूह G का पहचान तत्व होता है। हर समूह G के पास कम से कम एक शून्य उपसमूह होता है।

उपयुक्त उपसमूह

एक उपयुक्त उपसमूह वह है जो पूरे समूह के बराबर नहीं होता है। यदि H एक उपसमूह है G का और H ≠ G, तो H एक उपयुक्त उपसमूह है। उदाहरण के लिए, सम संख्या का समूह पूर्णांकों का उपसमूह होता है।

समूह का केंद्र

एक अधिक दिलचस्प उपसमूह होता है केंद्र समूह Z(G) का। यह सभी तत्वों G का समूह होता है जो हर अन्य तत्व के साथ स्थान बदलते हैं, अर्थात् Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z सभी g ∈ G के लिए} एक समूह का केंद्र हमेशा एक उपसमूह होता है।

उदाहरण और अभ्यास

चलो कुछ उदाहरण देखते हैं और यह निर्धारित करने की कोशिश करते हैं कि कौन से उपसमूह उपसमूह बनाते हैं:

उदाहरण 1

सेट (ℝ*, ⋅) पर विचार करें गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं का महत्व के तहत। निर्धारित करें कि समुच्चय ℝ + सकारात्मक वास्तविक संख्याएं एक उपसमूह हैं या नहीं।

- पूरा होना: दो सकारात्मक संख्याओं का उत्पाद सकारात्मक होता है।
- पहचान: पहचान तत्व 1 है, जो सकारात्मक है।
- व्युत्क्रम: किसी भी सकारात्मक संख्या का व्युत्क्रम भी सकारात्मक है।

इस प्रकार, ℝ + एक उपसमूह है ℝ* का।

उदाहरण 2

जाँच करें कि पूर्णांकों का समूह सम्मिलन के तहत, (ℤ, +), उपसमूह बनाते हैं या नहीं जो 3 के गुणकों का समूह है, 3ℤ।

- पूरा होना: दो गुणकों का योग 3 का गुणक होता है।
- पहचान: संख्या 0, जो 3 का गुणक है, समूह में है।
- व्युत्क्रम: किसी भी गुणक का व्युत्क्रम (सम्मिलन के तहत) भी 3 का गुणक होता है।

इस प्रकार, 3ℤ एक उपसमूह है ℤ का।

अभ्यास 1

समान्तर समूह S 3 पर विचार करें, जो तीन तत्वों की सभी कार्यविधियों का समूह है। संभावित उपसमूहों की सूची बनाएं और उनमें से एक को सत्यापित करें।

• उपसमूह S 3 के: पहचान {}, उपसमूह {(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}, और इनमें से दो के द्वारा जनित कोई भी समूह।
• सिद्ध करें कि {(1), (1 2)} एक उपसमूह है।

- समापन: प्रत्येक तत्वों के संयोजन पर विचार करें (उदाहरण के लिए, (1 2) * (1 2) = (1)).
- पहचान: पहचान (1) विद्यमान है।
- व्युत्क्रम: हर तत्व खुद का व्युत्क्रम होता है।

इस प्रकार, {(1), (1 2)} एक उपसमूह है S 3 का।

इन अभ्यासों और उदाहरणों के माध्यम से, कोई व्यक्ति उपसमूहों और उनकी विशेषताओं को ऊपरी रूपरेखा के ढांचे के भीतर समझ सकता है। जब आप उपसमूहों को पहचानने और उनके साथ कार्य करने का अभ्यास करते हैं, तो आप अमूर्त बीजगणित में उनकी भूमिका की गहरी समझ विकसित करेंगे।

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