Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Subgrupos


En álgebra abstracta, los subgrupos son un concepto que nos permite entender y explorar los componentes básicos de los grupos, una de las estructuras fundamentales en matemáticas. Los grupos en sí mismos proporcionan una manera de estudiar simetrías y transformaciones, que aparecen en una variedad de campos como la física, la química y la informática. Comprender los subgrupos es importante porque forman la base de muchas teorías y conceptos más avanzados en álgebra, tales como grupos cociente y grupos simples.

¿Qué es un grupo?

Antes de avanzar a los subgrupos, recordemos rápidamente qué es un grupo. Un grupo es un conjunto G combinado con una operación (llamémosla *) que satisface cuatro propiedades principales:

  1. Cierre: para todos los elementos a, b en G, el resultado de la operación a * b también está en G.
  2. Asociatividad: para todos los elementos a, b, c en G, la ecuación (a * b) * c = a * (b * c) es válida.
  3. Elemento identidad: Existe un elemento e en G tal que para cada elemento a en G la ecuación e * a = a * e = a es válida.
  4. Elemento inverso: Para cada elemento a en G, hay un elemento b en G tal que a * b = b * a = e, donde e es el elemento identidad.

Un ejemplo simple de un grupo es el grupo de enteros bajo la adición, donde el elemento identidad es 0 y el inverso de cualquier número entero a es -a.

Definiendo un subgrupo

Un subgrupo es un subconjunto de un grupo que es en sí mismo un grupo con la misma operación. Según la definición formal, suponga que (G, *) es un grupo. Un subgrupo H de G es un subconjunto de G que forma un grupo con la operación *. Esto significa que H debe satisfacer las propiedades de grupo de cierre, asociatividad, identidad e inverso utilizando la misma operación * que G.

Notación

Si H es un subgrupo de G, escribimos H ≤ G. A veces, dependiendo de la literatura, también puede encontrar H ⊆ G, pero con el entendimiento implícito de que H es un subgrupo.

Ejemplo visual

H Sí

El círculo más grande representa el grupo G, y el círculo más pequeño dentro de él representa el subgrupo H.

Propiedades de los subgrupos

Para verificar que H es un subgrupo de un grupo G, utilizamos estos criterios reducidos de los axiomas del grupo:

  1. Cierre: para cada par de elementos a, b en H, el producto a * b también está en H.
  2. Identidad: El elemento identidad de G está en H.
  3. Inverso: Para cada elemento a en H, el elemento inverso a -1 también está en H.

Comprobar estas condiciones suele ser más fácil que comprobar las propiedades generales del grupo.

Ejemplo: Subgrupo de enteros

Considera el grupo (ℤ, +), que es el conjunto de todos los números enteros bajo la adición. Vamos a explorar algunos subconjuntos:

  • El conjunto de enteros pares 2ℤ = {..., -4, -2, 0, 2, 4, ...} es un subgrupo de ℤ. Satisface el cierre (la suma de dos números pares es par), contiene la identidad (0 es un entero par) y cada elemento tiene un inverso (si 2a es par, entonces -2a también es par).
  • El conjunto ℤ + = {1, 2, 3, ...} no es un subgrupo ya que no contiene el 0, el elemento identidad, y los inversos de enteros positivos no son positivos.

Prueba de subgrupo

Una forma más sofisticada de comprobar si un subconjunto H de G es un subgrupo se conoce como la prueba de subgrupo. Si H no está vacío y para todos los elementos a, b en H, el elemento a * b -1 también está en H, entonces H es un subgrupo.

Pruebas de subgrupo:
H ≠ ∅
2. Para todo a, b en H, a * b -1 está en H

Esta prueba es particularmente útil para simplificar pruebas, especialmente en la investigación algebraica abstracta.

Vista de operaciones de subgrupos

A B a * b -1 H

Las líneas representan la operación * dentro del subgrupo H, manteniendo los elementos dentro del subgrupo. Aquí, a * b -1 dentro de H verifica el cierre con inverso.

Tipos de subgrupos

Hay varios tipos especiales de subgrupos que tienen propiedades únicas. Vamos a explorar algunos de ellos:

Subgrupos triviales

El subgrupo más básico se llama el subgrupo trivial. Contiene solo el elemento identidad del grupo, es decir, {e} donde e es el elemento identidad de G. Cada grupo G tiene al menos un subgrupo trivial.

Subgrupos propios

Un subgrupo propio es un subgrupo que no es igual al grupo entero. Si H es un subgrupo de G y H ≠ G, entonces H es un subgrupo propio. Por ejemplo, el grupo de enteros pares es un subgrupo propio de los enteros.

Centro del grupo

Un subgrupo mucho más interesante es el centro de un grupo Z(G). Consiste en todos los elementos de G que conmutan con todos los demás elementos de G, es decir, Z(G) = {z ∈ G | z * g = g * z para todo g ∈ G}. El centro de un grupo es siempre un subgrupo.

Ejemplos y ejercicios

Veamos algunos ejemplos e intentemos determinar qué subconjuntos forman un subgrupo:

Ejemplo 1

Considere el conjunto (ℝ*, ⋅) de números reales no nulos bajo la multiplicación. Determine si el subconjunto ℝ + de números reales positivos es un subgrupo.

- Cierre: El producto de dos números positivos es positivo.
- Identidad: El elemento identidad es 1, que es positivo.
- Recíproco: El recíproco de cualquier número positivo también es positivo.

Por lo tanto, ℝ + es un subgrupo de ℝ*.

Ejemplo 2

Compruebe si el grupo de enteros bajo adición, (ℤ, +), contiene un subgrupo formado por el grupo de múltiplos de 3, 3ℤ.

- Cierre: La suma de dos múltiplos de 3 es un múltiplo de 3.
- Identidad: el número 0, que es un múltiplo de 3, está en el grupo.
- Recíproco: El recíproco (bajo adición) de cualquier múltiplo de 3 también es un múltiplo de 3.

Por lo tanto, 3ℤ es un subgrupo de ℤ.

Ejercicio 1

Considere el grupo simétrico S 3, que es el grupo de todas las permutaciones de tres elementos. Enumere los posibles subgrupos y verifique uno de ellos.

  • Subgrupos de S 3: la identidad {}, los subgrupos {(1), (1 2), (2 3), (1 3), (1 2 3), (1 3 2)}, y cualquier grupo generado por dos de estos.
  • Demostrar que {(1), (1 2)} es un subgrupo.
- Cierre: considerar cada combinación de elementos (por ejemplo, (1 2) * (1 2) = (1)).
- Identidad: Existe la identidad (1).
- Inverso: Cada elemento es su propio inverso.

Por lo tanto, {(1), (1 2)} es un subgrupo de S 3.

A través de estos ejercicios y ejemplos, uno puede mejorar su comprensión de los subgrupos y sus propiedades dentro del marco más amplio de la teoría de grupos. A medida que practique identificando y trabajando con subgrupos, desarrollará una comprensión más profunda de su papel en el álgebra abstracta.


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