群
在数学领域中被称为代数的分支中，研究的一个基本结构称为“群”。群是一个集合，其上有一个运算可以将任意两个元素组合形成第三个元素，同时满足特定的性质，称为群公理。这些性质为理解多种数学系统提供了框架。
群的定义
群是在一个集合G上定义的一个二元运算*（通常称为乘法），可以将任意两个元素a和b组合形成另一个元素c = a * b，使得满足以下称为公理的性质：
- 封闭性：对于所有的
a，b在G中，运算a * b的结果仍在G中。 - 结合性：对于所有的
a，b和c在G中，(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元：
G中存在一个元素e，使得对于G中的每个元素a，e * a = a * e = a - 逆元：对于
G中的每个a，存在一个G中的元素b，使得a * b = b * a = e，其中e是单位元。
群的例子
例子1：整数加法下的群
考虑整数集Z在加法运算+下，这构成一个群，因为：
- 封闭性：任何两个整数相加仍是一个整数。
- 结合性：对于任何整数
a、b和c，(a + b) + c = a + (b + c) - 单位元：单位元是
0，因为对于任何整数a，a + 0 = a。 - 逆元：整数
a的逆元是-a，因为a + (-a) = 0。
例子2：对称群
一组元素上的对称群是由所有可能的元素排列组成的群。对于一个n个元素的集合，对称群通常表示为S n。这个群很重要，因为它描述了元素如何被重新排列。
三个元素的对称群，S 3
考虑集合{1, 2, 3}。对称群S 3有以下元素：
{(), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
这里，每个元素表示集合的一个排列。恒等排列用()表示，意味着没有变化。
群的性质
群可以显示各种有趣的性质，这使得研究它们很有意义：
阿贝尔群
如果运算是交换的，那么群称为阿贝尔群（或交换群）。这意味着对于G中的所有a和b，a * b = b * a。整数的加法是阿贝尔群的一个例子。
非阿贝尔群
当一个群不满足交换性质时，它被称为非阿贝尔群。对称群S 3就是一个非阿贝尔群的例子。
有限群和无限群
根据包含的元素数量，群可以分为有限群或无限群：
- 有限群：这个群的元素数量是有限的。例如，
S 3有6个元素。 - 无限群：这个群的元素数量是无限的。整数的加法下形成一个无限群。
群结构的可视化
群可以用各种方法进行可视化，通常取决于正在研究的特定数学分支或上下文。其中一种方法被称为凯莱表，它是一个网格，显示了有限群中元素组合的方式。
凯莱表的例子
考虑一个有元素{e, a, b}和一个运算*的小群。该群的凯莱表可能如下所示：
| E | A | B | |
|---|---|---|---|
| E | E | A | B |
| A | A | B | E |
| B | B | E | A |
这里，表格的每个单元格表示特定元素的运算结果：a * b在标有a的行与标有b的列相交处找到。
群的应用
群不仅是理论构造，它们在数学和应用科学的各个领域中都起着重要作用：
对称与几何
在几何中，群描述了物体的对称性。所有对称性的集合形成一个称为对称群的群。例如，一个正方形的对称性包括可以建模为群的旋转和反射。
密码学
某些群，例如基于椭圆曲线的群，具有使其适合于创建安全加密系统以保护数字通信的性质。
物理
群构成了许多物理理论的数学基础。例如，称为李群的对称群被用于粒子物理的标准模型中。
练习：探索群
为了进一步提高对群的理解，请尝试以下练习：
- 证明所有非零有理数集合与乘法构成一个群。
- 为等边三角形的对称群写出凯莱表。
- 在模5的整数加法群中找到每个元素的逆元。
- 确定所有实数上的2x2可逆矩阵集合在矩阵乘法下是否为一个群。如果是，它是阿贝尔群吗？
结论
理解群是研究代数以及其在许多其他领域应用的基础。群体现了数学系统中的对称和结构的观念。通过探索诸如单位元、逆元和封闭性等性质，群为复杂数学概念提供了洞见。当你研究群时，你为分析更复杂的代数系统和解决科学工程中的实际问题奠定了基础。
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