群
代数として知られる数学の分野において、研究される基本的な構造の一つは「群」と呼ばれるものです。群とは、特定の特性である群の公理を満たすように、任意の2つの要素を結合して3番目の要素を形成する操作を備えた集合です。これらの特性は、多様な数学的システムを理解するための枠組みを提供します。
群の定義
群は、2項演算*（通常は乗算と呼ばれる）を持つ集合G上で定義されます。この演算は任意の2つの要素aおよびbを結合して別の要素c = a * bを形成し、次の公理と呼ばれる特性が満たされます:
- 閉包: すべての
a、bがGにある場合、演算の結果a * bはGにも属します。 - 結合律: すべての
a、b、およびcがGにある場合、(a * b) * c = a * (b * c) - 単位元:
G内に要素eが存在し、すべての要素aについてe * a = a * e = a - 逆元: すべての
aについてG内に要素bが存在し、a * b = b * a = eで、eは単位元です。
群の例
例1: 加算に関する整数
加算+の操作で整数の集合Zを考えます。これは次の理由で群を形成します:
- 完結: 任意の2つの整数を加算すると別の整数が得られます。
- 結合律: 任意の整数
a、b、およびcについて、(a + b) + c = a + (b + c) - 単位元: 単位元は
0であり、任意の整数aに対してa + 0 = aです。 - 逆元: 整数
aの逆は-aで、a + (-a) = 0です。
例2: 対称群
特定の要素の集合に対する対称群は、要素のすべての可能な順列によって形成される群です。n個の要素の集合に対する対称群は、通常S nとして表されます。この群は、要素がどのように再配列できるかを説明するため、重要です。
3つの要素に対する対称群S 3
集合{1, 2, 3}を考えます。対称群S 3には次の要素があります:
{(), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}
ここで、それぞれの要素は集合の順列を表しています。恒等順列は()で表され、変化がないことを意味します。
群の特性
群は興味深い種類の特性を示すことがあり、研究する価値があります:
可換群
演算が可換である場合、群は可換群（またはコミュタティブ群）と呼ばれます。つまり、すべてのa、bがGにあり、a * b = b * aであることを意味します。加算に関する整数は、可換群の例です。
非可換群
群が可換の特性を満たさない場合、非可換群と呼ばれます。対称群S 3は非可換群の例です。
有限群と無限群
群の要素数に応じて、有限群と無限群に分類されます:
- 有限群: この群には限られた数の要素があります。たとえば、
S 3は6つの要素を持ちます。 - 無限群: この群には無限の数の要素があります。加算に関する整数は無限群を形成します。
群構造の可視化
群は、学問分野や数学の特定の分野によって、さまざまな方法で可視化できます。一つの方法は、有限群における要素の組み合わせがどのように機能するかを示すグリッド、ケイリー表と呼ばれる方法です。
ケリー表の例
要素{e, a, b}と演算*を持つ小さな群を考えます。群のケイリー表は次のようになります:
| E | A | B | |
|---|---|---|---|
| E | E | A | B |
| A | A | B | E |
| B | B | E | A |
ここで、表の各セルは特定の要素に対する演算の結果を表します: a * bは、aとラベル付けされた行がbとラベル付けされた列に出会う箇所にあります。
群の応用
群は単なる理論的な構成ではなく、数学および応用科学のさまざまな分野で重要な役割を果たします:
対称性と幾何学
幾何学では、群は物体の対称性を説明します。すべての対称性の集合は、対称群と呼ばれる群を形成します。たとえば、正方形の対称性には、回転および反射が含まれ、群としてモデル化されます。
暗号学
特定の群、たとえば楕円曲線に基づく群は、デジタル通信を保護する安全な暗号システムを作成するために有用な特性を持ちます。
物理学
群は多くの物理理論の数学的基礎を形成します。たとえば、リー群として知られる対称群は、素粒子物理学の標準モデルで使用されます。
練習: 群の探索
群の理解を深めるために、これらの練習を試みてください:
- 乗算を用いた非零有理数の集合が群であることを証明しなさい。
- 正三角形の対称群のケリー表を作成しなさい。
- 和に対する5のモジュロの群で各要素の逆を見つけなさい。
- 実数に関する2x2の逆行列の集合が行列乗算下で群かどうかを判断しなさい。それが群である場合、それは可換群ですか？
結論
群を理解することは、代数および他の多くの分野での応用を研究する上で不可欠です。群は数学的システムにおける対称性と構造の概念を体現しています。単位元や逆元、閉包などの特性を探索することで、群は複雑な数学的概念を理解する手助けをします。群を学ぶことで、より洗練された代数系を分析し、科学や工学の実際の問題を解決する基礎を築くことができます。
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