समूह

गणित के जिस क्षेत्र को बीजगणित कहा जाता है, उसमें अध्ययन की जाने वाली बुनियादी संरचनाओं में से एक को "समूह" कहा जाता है। एक समूह एक सेट है जिसे एक ऑपरेशन के साथ सुसज्जित किया जाता है जो किसी भी दो तत्वों को मिलाकर एक तीसरा तत्व बनाता है, जबकि समूह अभियों के रूप में ज्ञात विशिष्ट गुणों को पूरा करता है। ये गुण विभिन्न प्रकार की गणितीय प्रणालियों को समझने के लिए एक ढांचा प्रदान करते हैं।

समूह की परिभाषा

एक समूह एक सेट G पर परिभाषित होता है जिसमें एक बाइनरी ऑपरेशन * (अक्सर गुणन कहा जाता है) जो किसी भी दो तत्वों a और b को मिलाकर एक अन्य तत्व c = a * b बनाता है ताकि निम्नलिखित गुण, जिन्हें अभियां कहा जाता है, पूर्ण होते हैं:

1. बंदता: सभी a, b के लिए G में, ऑपरेशन a * b का परिणाम भी G में होता है।
2. सहयोगिता: सभी a, b और c के लिए G में,
   (a * b) * c = a * (b * c)
3. पहचान तत्व: G में एक तत्व e मौजूद होता है ताकि G में हर तत्व a के लिए,
   e * a = a * e = a
4. प्रतिलोम तत्व: हर a के लिए G में, G में एक तत्व b मौजूद होता है ताकि
   a * b = b * a = e जहां e पहचान तत्व है।

समूह के उदाहरण

उदाहरण 1: संख्याएं योग अंतर्गत

पूर्ण संख्याओं के सेट Z पर विचार करें जो योग + के ऑपरेशन के अंतर्गत हैं। यह एक समूह बनाता है क्योंकि:

• पूर्णता: किसी भी दो पूर्ण संख्याओं को जोड़ने से एक और पूर्ण संख्या मिलती है।
• सहयोगिता: किसी भी पूर्ण संख्याओं a, b, और c के लिए, (a + b) + c = a + (b + c)
• पहचान तत्व: पहचान तत्व 0 है क्योंकि a + 0 = a किसी भी पूर्ण संख्या a के लिए।
• प्रतिलोम तत्व: किसी पूर्ण संख्या a का प्रतिलोम -a होता है क्योंकि a + (-a) = 0।

उदाहरण 2: सममित समूह

तत्वों के एक सेट पर सममित समूह सभी संभावित परिमानों द्वारा बना समूह है। एक n तत्वों के सेट के लिए, सममित समूह को अक्सर S n के रूप में अंकित किया जाता है। यह समूह महत्वपूर्ण होता है क्योंकि यह विवरण देता है कि तत्वों को कैसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

तीन तत्वों पर सममित समूह, S 3

सेट {1, 2, 3} पर विचार करें। सममित समूह S 3 के निम्नलिखित तत्व होते हैं:

    {(), (1 2), (1 3), (2 3), (1 2 3), (1 3 2)}

यहाँ, प्रत्येक तत्व सेट के एक परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है। पहचान परिमाण () द्वारा दर्शाया गया है, जिसका अर्थ है कोई परिवर्तन नहीं।

समूह के गुण

समूह ऐसे विभिन्न गुण दर्शा सकते हैं जो उनका अध्ययन करने के लिए उन्हें रोचक बनाते हैं:

आबेलियन समूह

यदि ऑपरेशन साम्यिक है तो समूह आबेलियन (या साम्यिक) कहलाता है। इसका मतलब है कि सभी a, b में G, a * b = b * a होता है। जोड़ी के नीचे पूर्णांक आबेलियन समूह का एक उदाहरण हैं।

गैर-आबेलियन समूह

जब कोई समूह साम्यिक गुण को पूरा नहीं करता है, तो इसे गैर-आबेलियन कहा जाता है। सममित समूह S 3 गैर-आबेलियन समूह का एक उदाहरण है।

ससीम और असीम समूह

समूह को अपनी तत्वों की संख्या के आधार पर ससीम या असीम वर्गीकृत किया जा सकता है:

• ससीम समूह: इस समूह में तत्वों की सीमित संख्या होती है। उदाहरण के लिए, S 3 में 6 तत्व होते हैं।
• असीम समूह: इस समूह में तत्वों की असीम संख्या होती है। जोड़ के अंतर्गत पूर्णांक एक असीम समूह बनाते हैं।

समूह संरचना का दर्शन

समूह को विभिन्न तरीकों से देखा जा सकता है, जो अक्सर संदर्भ या अध्ययन की जा रही गणितीय शाखा पर निर्भर करता है। ऐसा एक तरीका है कैली तालिका जो एक ग्रिड है जो दर्शाता है कि सीमित समूह के लिए तत्वों के संयोजन का कार्यक्षेत्र कैसे होता है।

केली तालिका उदाहरण

एक छोटे समूह के साथ {e, a, b} और एक ऑपरेशन * पर विचार करें। समूह की केली तालिका इस तरह हो सकती है:

    

        

            
E
A
B
        
        

            
E
E
A
B
        
        

            
A
A
B
E
        
        

            
B
B
E
A
        
    

यहाँ, तालिका का प्रत्येक सेल विशेष तत्वों के लिए ऑपरेशन के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है: a * b कहाँ पाया जाता है जहां पंक्ति a से मेल खाती है कॉलम b के साथ।

समूह के अनुप्रयोग

समूह सिर्फ सैद्धांतिक संरचनाएं नहीं हैं; वे विभिन्न गणितीय और अनुप्रयुक्त विज्ञान के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं:

साम्य और ज्यामिति

ज्यामिति में, समूह वस्तुओं की साम्यताओं का वर्णन करते हैं। सभी साम्यताओं का सेट एक समूह बनाता है जिसे साम्य समूह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग के सममुख्यताएं उस पर किए जा सकते रोटेशन और परावर्तन होते हैं जिन्हें एक समूह के रूप में मॉडल किया जा सकता है।

क्रिप्टोग्राफी

कुछ समूह, जैसे अण्डाकोणीय वक्रों पर आधारित, उनके ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें डिजिटल संवादों की सुरक्षा के लिए सुरक्षित क्रिप्टोग्राफिक सिस्टम बनाने के लिए उपयोगी बनाते हैं।

भौतिकी

समूह कई भौतिक सिद्धांतों की गणितीय नींव का आधार बनाते हैं। उदाहरण के लिए, साम्य समूह जिन्हें ली समूह कहा जाता है कण भौतिकी के मानक मॉडल में उपयोग किये जाते हैं।

अभ्यास: समूहों का अन्वेषण करें

समूहों की अपनी समझ को और बेहतर करने के लिए, इन अभ्यासों का प्रयास करें:

1. यह सिद्ध करें कि गुणन के साथ सभी गैर-शून्य परिमाण संख्याओं की सेट एक समूह है।
2. एक समबाहु त्रिभुज के साम्य समूह के लिए कैली तालिका लिखें।
3. 5 योग के मापांक के अंतर्गत पूर्णांक समूह के प्रत्येक तत्व का प्रतिलोम खोजें।
4. निर्धारित करें कि वास्तविक संख्याओं पर 2x2 उलटने योग्य मैट्रिसों का सेट मैट्रिक्स गुणन के अंतर्गत एक समूह है या नहीं। यदि हां, तो क्या यह आबेलियन समूह है?

निष्कर्ष

समूहों को समझना बीजगणित का अध्ययन और इसके कई अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग के लिए आवश्यक है। समूह गणितीय प्रणाली में साम्य और संरचना की धारणा को सजीव करते हैं। पहचान, प्रतिलोम, और बंदता जैसे गुणों के परीक्षण के माध्यम से, समूह जटिल गणितीय अवधारणाओं की समझ में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। जैसे-जैसे आप समूहों का अध्ययन करते हैं, आप अधिक परिष्कृत बीजगणितीय प्रणालियों के विश्लेषण और विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्यावहारिक समस्याओं के हल के लिए एक आधार बनाते हैं।

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