Введение в теорию Галуа

Теория Галуа является важной частью абстрактной алгебры, которая обеспечивает глубокую связь между теорией полей и теорией групп. Названная в честь французского математика Эвариста Галуа, эта теория важна для понимания решений полиномиальных уравнений в контексте полей и групп. Через теорию Галуа вы исследуете, как симметрии алгебраических уравнений могут быть раскрыты путем изучения структуры соответствующих групп.

Исторический контекст

Происхождение теории Галуа связано с попытками решения полиномиальных уравнений. На протяжении веков математики пытались найти решения для полиномиальных уравнений более высоких степеней с помощью радикалов — выражений решений в терминах степеней и корней. Решения квадратных, кубических и биквадратных уравнений были известны в 16 веке, но общая формула для уравнений пятой степени, или квинтилей, оставалась неуловимой.

Затем пришел Эварист Галуа, который изменил парадигму. Вместо того чтобы сосредотачиваться на непосредственном решении уравнений, Галуа использовал теорию групп, чтобы понять симметрии в корнях полиномов. Его идеи заложили основу для определения, когда полином можно решить с помощью радикалов.

Ключевые понятия теории Галуа

1. Поле

Поле — это множество, снабженное двумя операциями: сложением и умножением. Эти операции подчиняются определенным правилам, которые вам знакомы при работе с рациональными числами, действительными числами и т. д. Важные свойства полей включают коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность сложения и умножения, существование аддитивной и мультипликативной идентичности (соответственно 0 и 1) и обратные элементы для каждого ненулевого элемента.

Некоторые общие примеры полей включают:

1. Множество рациональных чисел (( mathbb{Q} )) 2. Множество действительных чисел (( mathbb{R} )) 3. Множество комплексных чисел (( mathbb{C} ))

2. Полиномиальные уравнения и расширения

Рассмотрим полином ( f(x) ) над полем ( F ). Решение ( f(x) = 0 ) означает нахождение элементов в большем поле ( E ), которые удовлетворяют уравнению. Такое поле ( E ) называется расширением поля ( F ), обозначаемым как ( E/F ). Расширения полей важны при изучении корней полиномов.

3. Автоморфизмы и группы Галуа

Автоморфизм расширения поля ( E/F ) — это биективное (взаимно однозначное и на) отображение из ( E ) в себя, которое сохраняет операции поля и оставляет неизменными все элементы ( F ). Множество всех автоморфизмов ( E/F ) образует группу, известную как группа Галуа.

Например, рассмотрим расширение поля ( mathbb{C}/mathbb{R} ). В этом случае комплексное сопряжение является примечательным автоморфизмом, и группа Галуа состоит из двух элементов: тождественного отображения и отображения сопряжения.

4. Основная теорема теории Галуа

Одно из величайших достижений теории Галуа — основная теорема теории Галуа. Она обеспечивает двоичное соответствие между подполями расширения Галуа и подгруппами его группы Галуа. Эта теорема демонстрирует, как структура промежуточных полей расширения поля отражает подгрупповую структуру группы Галуа.

Подробное изучение теории Галуа

Полиномы и поля

В основе понимания теории Галуа лежит концепция полиномиальных уравнений. Рассмотрим полином степени ( n ):

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0

где коэффициенты ( a_i ) принадлежат полю ( F ). Решения этого полинома не обязательно принадлежат полю ( F ), но могут существовать в большем поле ( E ), которое является расширением ( F ).

Возьмем, например, полином ( x^2 - 2 = 0 ). Решениями являются ( sqrt{2} ) и ( -sqrt{2} ), которые не принадлежат множеству рациональных чисел ( mathbb{Q} ), но могут быть найдены в поле действительных чисел ( mathbb{R} ).

Построение расширений полей

Расширение поля ( E/F ) получается путем добавления новых элементов к ( F ). Эти новые элементы обычно являются корнями полиномов с коэффициентами в ( F ). Например, если мы добавим ( sqrt{5} ) к ( mathbb{Q} ), мы получим расширение поля ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ). Это расширение поля содержит все числа вида ( a + bsqrt{5} ), где ( a, b ) — рациональные числа.

Вы можете представить это следующим образом:

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{5}) & \ & nearrow & & searrow \ mathbb{Q} & & & & mathbb{Q}(sqrt{2}) \ end{array} ]

Эта диаграмма представляет простое расширение поля с ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ) и ( mathbb{Q}(sqrt{2}) ) как расширенные поля ( mathbb{Q} ).

Понимание групп Галуа

Чтобы понять симметрии в корнях полиномов, изучите концепцию группы Галуа расширения поля. Группа Галуа описывает, как корни могут быть 'упорядочены', не изменяя исходные соотношения. Рассмотрим полином ( x^2 - 2 ). Расширение поля ( mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q} ) имеет два автоморфизма: один — тождественный (который отображает каждый элемент на себя), и другой, который отображает ( sqrt{2} ) в ( -sqrt{2} ).

Эти автоморфизмы образуют группу, обозначаемую ( text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q}) ). Это простая группа с двумя элементами: тождественной ( tau_0 ) и отображением ( tau_1 ), переключающим ( sqrt{2} ) и ( -sqrt{2} ). Вот простая таблица этих элементов:

[ begin{array}{c|cc} & sqrt{2} & -sqrt{2} \ hline tau_0 & sqrt{2} & -sqrt{2} \ tau_1 & -sqrt{2} & sqrt{2} \ end{array} ]

Мощь основной теоремы теории Галуа

Основная теорема теории Галуа образует мост между расширениями полей и теорией групп. Основной принцип этой теоремы заключается в том, что для данного расширения Галуа ( E/F ) существует однозначное соответствие между промежуточными подполями ( F subseteq K subseteq E ) и подгруппами группы Галуа ( text{Gal}(E/F) ).

Рассмотрим это соответствие на примере иерархии расширений полей. Предположим, мы ассоциируем два квадратных корня, ( sqrt{2} ) и ( sqrt{3} ) с ( mathbb{Q} ). Вот диаграмма структуры:

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3}) & \ & nearrow & & nwarrow \ mathbb{Q}(sqrt{2}) & & & & mathbb{Q}(sqrt{3}) \ & nwarrow & & nearrow \ & & mathbb{Q} & \ end{array} ]

Каждая линия представляет расширение поля, где:

• (mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})) над (mathbb{Q}) является полным расширением Галуа.
• (mathbb{Q}(sqrt{2})) и (mathbb{Q}(sqrt{3})) являются промежуточными расширениями.

Соответствующие отношения группы Галуа могут быть представлены как:

• Каждая подгруппа из (text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})/mathbb{Q})) коррелирует с подполем.
• Для каждой подгруппы определенная область соответствует конкретной промежуточной области.

Применение теории Галуа

Решение полиномов через радикалы

Важным результатом применения теории Галуа является определение того, можно ли решить полином через радикалы, то есть, можно ли выразить его корни как комбинацию базовых арифметических операций и n-х корней. Используя теорему, мы можем установить, что полином решаем через радикалы, когда ассоциированная с ним группа Галуа является разрешимой группой, концепцией из теории групп.

Например, рассмотрим квинтильное уравнение:

f(x) = x^5 - x + 1 = 0

Теория Галуа доказывает, что оно неразрешимо через радикалы, поскольку группа Галуа так же велика и сложна, как (text{S}_5), симметрическая группа из пяти элементов, которая неразрешима.

Геометрические построения

Теория Галуа также может применяться к классическим задачам на геометрические построения с линейкой и циркулем. Понимая, какие длины могут быть построены, теория Галуа помогает доказать пределы построений, такие как квадратура круга, удвоение куба или трисекция угла.

Например, возможно построить правильный многоугольник с 17 сторонами, используя только линейку и циркуль, факт, подтвержденный с помощью соответствующих расширений полей, которые являются фундаментальными расширениями.

Заключение

Теория Галуа является свидетельством красоты и взаимодействия между алгебраическими структурами. Она обогащает понимание полиномов, подчёркивая их разрешимость, и выходит за пределы традиционной алгебры, связывая поля с группами. Новаторские идеи Галуа сыграли ключевую роль в математическом прогрессе и открытии, демонстрируя непревзойденную красоту и силу чистой математики.

комментарии