Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Introdução à teoria de Galois


A teoria de Galois é uma parte importante da álgebra abstrata que fornece uma conexão profunda entre a teoria dos corpos e a teoria dos grupos. Nomeada em homenagem ao matemático francês Évariste Galois, esta teoria é essencial para entender as soluções das equações polinomiais no contexto de corpos e grupos. Através da teoria de Galois, você explorará como as simetrias das equações algébricas podem ser reveladas ao investigar a estrutura dos grupos relevantes.

Contexto histórico

As origens da teoria de Galois estão ligadas às tentativas de resolver equações polinomiais. Durante séculos, os matemáticos tentaram encontrar soluções para equações polinomiais de graus superiores usando radicais – expressões das soluções em termos de potências e raízes. Soluções para equações quadráticas, cúbicas e quárticas eram conhecidas no século XVI, mas uma fórmula geral para equações de quinto grau, ou quintas, mostrou-se evasiva.

Então veio Evariste Galois, que mudou o paradigma. Em vez de focar diretamente na resolução de equações, Galois usou a teoria dos grupos para entender as simetrias nas raízes dos polinômios. Suas ideias estabeleceram as bases para determinar quando um polinômio pode ser resolvido usando radicais.

Conceitos chave na teoria de Galois

1. Campo

Um campo é um conjunto equipado com duas operações: adição e multiplicação. Essas operações seguem certas regras, que são familiares para você ao trabalhar com números racionais, números reais, etc. Propriedades importantes dos campos incluem a comutatividade, a associatividade e a distributividade da adição e multiplicação, a existência de identidades aditiva e multiplicativa (0 e 1, respectivamente), e inversos para cada elemento não-nulo.

Alguns exemplos comuns de campos incluem:

1. O conjunto dos números racionais (( mathbb{Q} )) 2. O conjunto dos números reais (( mathbb{R} )) 3. O conjunto dos números complexos (( mathbb{C} ))

2. Equações polinomiais e expansões

Considere um polinômio ( f(x) ) sobre um campo ( F ). Resolver ( f(x) = 0 ) significa encontrar elementos em um campo maior ( E ) que satisfaçam a equação. Tal campo ( E ) é chamado uma extensão de campo de ( F ), denotada como ( E/F ). Extensões de campo são importantes para estudar as raízes dos polinômios.

3. Automorfismos e grupos de Galois

Um automorfismo de uma extensão de campo ( E/F ) é um mapa bijetivo (um para um e sobre) de ( E ) para si mesmo que preserva as operações do campo e deixa todo elemento de ( F ) inalterado. O conjunto de todos os automorfismos de ( E/F ) forma um grupo, conhecido como o grupo de Galois.

Por exemplo, considere a extensão de campo ( mathbb{C}/mathbb{R} ). Neste caso, a conjugação complexa é um automorfismo notável, e o grupo de Galois consiste em dois elementos: o mapa de identidade e o mapa de conjugação.

4. O teorema fundamental da teoria de Galois

Uma das maiores realizações da teoria de Galois é o teorema fundamental da teoria de Galois. Ele fornece uma correspondência binária entre subcorpos de uma extensão de Galois e subgrupos do seu grupo de Galois. Este teorema mostra como a estrutura dos campos intermediários de uma extensão de campo reflete a estrutura de subgrupo do grupo de Galois.

Exploração detalhada da teoria de Galois

Polinômios e campos

No coração do entendimento da teoria de Galois está o conceito de equações polinomiais. Considere um polinômio de grau ( n ):

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0

onde os coeficientes ( a_i ) pertencem a um campo ( F ). As soluções deste polinômio podem não estar dentro do campo ( F ), mas podem existir em um campo maior ( E ), que é uma extensão de ( F ).

Tome por exemplo o polinômio ( x^2 - 2 = 0 ). As soluções são ( sqrt{2} ) e ( -sqrt{2} ), nenhum dos quais está no conjunto dos números racionais ( mathbb{Q} ), mas ambos podem ser encontrados no campo dos números reais ( mathbb{R} ).

Construção de extensões de campo

Uma extensão de campo ( E/F ) é obtida adicionando novos elementos a ( F ). Esses novos elementos são tipicamente as raízes de polinômios com coeficientes em ( F ). Por exemplo, se adicionarmos ( sqrt{5} ) a ( mathbb{Q} ), obtemos uma extensão de campo ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ). Esta extensão de campo contém todos os números da forma ( a + bsqrt{5} ), onde ( a, b ) são números racionais.

Você pode visualizar isto da seguinte forma:

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{5}) & \ & nearrow & & searrow \ mathbb{Q} & & & & mathbb{Q}(sqrt{2}) \ end{array} ]

Este diagrama representa uma simples extensão de campo com ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ) e ( mathbb{Q}(sqrt{2}) ) como campos estendidos de ( mathbb{Q} ).

Entendendo os grupos de Galois

Para entender as simetrias nas raízes dos polinômios, examine o conceito do grupo de Galois de uma extensão de campo. O grupo de Galois descreve como as raízes podem ser 'ordenadas' sem mudar as relações originais. Considere o polinômio ( x^2 - 2 ). A extensão de campo ( mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q} ) tem dois automorfismos: um é a identidade (que mapeia cada elemento para si mesmo), e outro que mapeia ( sqrt{2} ) para ( -sqrt{2} ).

Esses automorfismos formam um grupo, denotado ( text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q}) ). Este é um grupo simples com apenas dois elementos: a identidade ( tau_0 ) e o mapa ( tau_1 ) trocando ( sqrt{2} ) e ( -sqrt{2} ). Aqui está uma tabela simples desses elementos:

[ begin{array}{c|cc} & sqrt{2} & -sqrt{2} \ hline tau_0 & sqrt{2} & -sqrt{2} \ tau_1 & -sqrt{2} & sqrt{2} \ end{array} ]

O poder do teorema fundamental da teoria de Galois

O teorema fundamental da teoria de Galois forma uma ponte entre extensões de campo e teoria de grupos. Um princípio chave deste teorema é que para uma dada extensão de Galois ( E/F ), há uma correspondência um-para-um entre subcorpos intermediários de ( F subseteq K subseteq E ) e subgrupos do grupo de Galois ( text{Gal}(E/F) ).

Considere essa correspondência com um exemplo de uma hierarquia de extensões de campo. Suponha que associemos duas raízes quadradas, ( sqrt{2} ) e ( sqrt{3} ) a ( mathbb{Q} ). Aqui está um diagrama da estrutura:

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3}) & \ & nearrow & & nwarrow \ mathbb{Q}(sqrt{2}) & & & & mathbb{Q}(sqrt{3}) \ & nwarrow & & nearrow \ & & mathbb{Q} & \ end{array} ]

Cada linha representa uma extensão de campo onde:

  • (mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})) sobre (mathbb{Q}) é uma extensão de Galois completa.
  • (mathbb{Q}(sqrt{2})) e (mathbb{Q}(sqrt{3})) são expansões intermediárias.

As relações do grupo de Galois correspondentes podem ser representadas como:

  • Cada subgrupo de (text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})/mathbb{Q})) correlaciona-se com um subcampo.
  • Para cada subgrupo, sua região definida corresponde a uma região intermediária particular.

Aplicações da teoria de Galois

Resolvendo polinômios por radicais

Um resultado importante da aplicação da teoria de Galois é determinar se um polinômio é solúvel por radicais, o que significa que suas raízes podem ser expressas como uma combinação de operações aritméticas básicas e raízes enésimas. Usando o teorema, podemos estabelecer que um polinômio é solúvel por radicais quando seu grupo de Galois associado é um grupo solúvel, um conceito da teoria dos grupos.

Por exemplo, considere a equação quíntupla:

f(x) = x^5 - x + 1 = 0

A teoria de Galois prova que é insolúvel por radicais, porque o grupo de Galois é tão grande e complexo quanto (text{S}_5), o grupo simétrico em cinco elementos, que é insolúvel.

Construções geométricas

A teoria de Galois também pode ser aplicada a problemas clássicos sobre construções geométricas com régua e compasso. Ao entender quais comprimentos podem ser construídos, a teoria de Galois ajuda a provar os limites das construções, como quadrar um círculo, dobrar um cubo ou dividir um ângulo ao meio.

Por exemplo, é possível construir um polígono regular com 17 lados usando apenas uma régua e um compasso, um fato verificado por meio de expansões de campo correspondentes, que são expansões fundamentais.

Conclusão

A teoria de Galois é um testemunho da beleza e da interação entre estruturas algébricas. Ela enriquece o entendimento de polinômios ao destacar sua solubilidade e vai além da álgebra tradicional, ao conectar campos a grupos. As ideias revolucionárias de Galois desempenharam um papel crucial no progresso e na descoberta matemática, demonstrando a beleza e o poder incomparáveis da matemática pura.


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