ガロア理論入門

ガロア理論は、体論と群論の間に深い関係を提供する抽象代数学の重要な部分です。フランスの数学者エヴァリステ・ガロアにちなんで名付けられたこの理論は、場と群のコンテキストで多項式方程式の解を理解するために不可欠です。ガロア理論を通じて、代数方程式の対称性が関連する群の構造を調べることによってどのように明らかにされるかを探求します。

歴史的背景

ガロア理論の起源は、多項式方程式を解く試みに関連しています。何世紀にもわたり、数学者たちは高次の多項式方程式の解を根号を使用して見つけようとしてきました。16世紀までに二次、三次、四次の方程式の解法は知られていましたが、五次方程式、または五次方程式の一般的な公式は見つかりませんでした。

その後、エヴァリステ・ガロアが登場し、パラダイムを変えました。ガロアは方程式を直接解くのではなく、群論を用いて多項式の根における対称性を理解しました。彼の考え方は、多項式が根号を用いて解けるかどうかを決定する基盤を築きました。

ガロア理論の主要概念

1. 領域

体とは、加算と乗算の2つの操作を備えた集合です。これらの操作は、有理数や実数などを扱う際に馴染みのある特定のルールに従います。体の重要な性質には、加法と乗法の可換性、結合性、分配性、加法と乗法の恒等（それぞれ0と1）と非ゼロ要素の逆数の存在があります。

一般的な体の例としては次のようなものがあります：

1. 有理数全体 (( mathbb{Q} )) 2. 実数全体 (( mathbb{R} )) 3. 複素数全体 (( mathbb{C} ))

2. 多項式方程式と拡大

体 ( F ) 上の多項式 ( f(x) ) を考えます。 ( f(x) = 0 ) を解くことは、この方程式を満たす要素をより大きな体 ( E ) で見つけることを意味します。そのような体 ( E ) を 体の拡大 と呼び、( E/F ) と表記されます。体の拡大は、多項式の根を研究する上で重要です。

3. 自動同型とガロア群

体の拡大 ( E/F ) の 自動同型 とは、体の操作を保持し、( F ) の要素をすべて不変にする ( E ) から自分自身への全単射（1対1かつ全射）写像のことです。 ( E/F ) のすべての自動同型の集合は群を形成し、ガロア群 と呼ばれます。

例えば、体の拡大 ( mathbb{C}/mathbb{R} ) を考えます。この場合、複素共役は注目すべき自動同型であり、ガロア群は2つの要素、すなわち恒等写像と共役写像から成ります。

4. ガロア理論の基本定理

ガロア理論の最大の業績の1つは ガロア理論の基本定理 です。これは、ガロア拡大の部分場とそのガロア群の部分群の間に二元対応を提供します。この定理は、体の拡大の中間場の構造がガロア群の部分群の構造をどのように反映するかを示しています。

ガロア理論の詳細な探求

多項式と体

ガロア理論を理解する核心は、多項式方程式の概念です。次数 ( n ) の多項式を考えます：

f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + ldots + a_1 x + a_0

ここで係数 ( a_i ) は体 ( F ) に属します。この多項式の解は体 ( F ) 内には存在しないかもしれませんが、拡大体 ( E ) 内に存在する可能性があります。これは体 ( F ) の拡張です。

例えば、多項式 ( x^2 - 2 = 0 ) を取ります。この解は ( sqrt{2} ) と ( -sqrt{2} ) で、どちらも有理数全体 ( mathbb{Q} ) にはありませんが、実数体 ( mathbb{R} ) に見出すことができます。

体の拡張の構成

体の拡張 ( E/F ) は、体 ( F ) に新しい要素を追加することによって得られます。これらの新要素は通常、係数が ( F ) の多項式の根です。例えば、( sqrt{5} ) を ( mathbb{Q} ) に追加すると、体の拡張 ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ) が得られます。この体の拡張には、形式 ( a + bsqrt{5} ) のすべての数が含まれ、ここで ( a, b ) は有理数です。

以下のように視覚化できます：

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{5}) & \ & nearrow & & searrow \ mathbb{Q} & & & & mathbb{Q}(sqrt{2}) \ end{array} ]

この図は ( mathbb{Q}(sqrt{5}) ) と ( mathbb{Q}(sqrt{2}) ) を ( mathbb{Q} ) の拡張体とする単純な体の拡張を表しています。

ガロア群の理解

多項式の根における対称性を理解するために、体の拡張のガロア群の概念を検討します。ガロア群は、元の関係を変えずに入れ替えることができる根の「順序付け」を記述します。多項式 ( x^2 - 2 ) を考えます。体の拡張 ( mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q} ) には2つの自動同型があります：1つは恒等写像（各要素を自分自身に写す）であり、もう1つは ( sqrt{2} ) を ( -sqrt{2} ) に写すものです。

これらの自動同型は群を形成し、( text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2})/mathbb{Q}) ) と表記されます。これは、恒等 ( tau_0 ) と ( sqrt{2} ) と ( -sqrt{2} ) を入れ替える写像 ( tau_1 ) の2つの要素を持つ単純な群です。これらの要素の簡単な表を以下に示します：

[ begin{array}{c|cc} & sqrt{2} & -sqrt{2} \ hline tau_0 & sqrt{2} & -sqrt{2} \ tau_1 & -sqrt{2} & sqrt{2} \ end{array} ]

ガロア理論の基本定理の力

ガロア理論の基本定理は、体の拡張と群論の橋渡しをします。この定理の重要な原則は、特定のガロア拡張 ( E/F ) に対して、( F subseteq K subseteq E ) の中間部分体とガロア群 ( text{Gal}(E/F) ) の部分群の間に1対1の対応があることです。

この対応を体の拡張階層の例で考えましょう。有理数 ( mathbb{Q} ) に平方根 ( sqrt{2} ) および ( sqrt{3} ) を関連付けると仮定します。構造の図を以下に示します：

[ begin{array}{cccc} & & mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3}) & \ & nearrow & & nwarrow \ mathbb{Q}(sqrt{2}) & & & & mathbb{Q}(sqrt{3}) \ & nwarrow & & nearrow \ & & mathbb{Q} & \ end{array} ]

各行は体の拡張を表し、次のようになっています：

• (mathbb{Q}(sqrt{2},sqrt{3})) は (mathbb{Q}) に対する完全なガロア拡張です。
• (mathbb{Q}(sqrt{2})) と (mathbb{Q}(sqrt{3})) は中間拡張です。

対応するガロア群の関係は次のように表すことができます：

• (text{Gal}(mathbb{Q}(sqrt{2}, sqrt{3})/mathbb{Q})) のすべての部分群は部分場と対応します。
• 各部分群には、それに対応する特定の中間場があります。

ガロア理論の応用

根号を用いた多項式の解法

ガロア理論の応用の重要な結果の1つとして、ある多項式が根号で解けるかどうかを決定できることがあります。つまり、その根が基本的な算術演算と ( n ) 次根の組み合わせとして表現できるかどうかです。この定理を使用して、多項式が根号で解けるのは、その関連するガロア群が群論からの可解群である場合であることを確立できます。

例えば、次の五次方程式を考えます：

f(x) = x^5 - x + 1 = 0

ガロア理論はそれが根号では解けないことを証明しています。これは、ガロア群が非常に大きく複雑であり、5つの要素の対称群である (text{S}_5) として表されるためです。

幾何学的な構成

ガロア理論はまた、定規とコンパスを用いた幾何学的な構成に関する古典的な問題にも応用できます。どの長さが構成できるかを理解することによって、ガロア理論は円の平方化、立方体の倍増、角の三等分などの構成の限界を証明する助けとなります。

例えば、17角形は定規とコンパスのみを用いて構成可能であることが、対応する領域拡張、すなわち基本的な拡張によって確認されます。

結論

ガロア理論は、代数構造の美しさと相互作用を証しします。それは、多項式の可解性を強調することによって理解を豊かにし、伝統的な代数学を超えて場と群を結びつけます。ガロアの画期的な洞察は、数学的進歩と発見において重要な役割を果たし、純粋数学の並外れた美しさと力を示しています。

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