Módulo

En el álgebra abstracta, un módulo es una estructura matemática que generaliza el concepto de espacios vectoriales y grupos abelianos. Para entender los módulos, es útil recordar primero la estructura de los espacios vectoriales y los grupos.

Un espacio vectorial se puede considerar como una colección de "vectores" con dos propiedades importantes: se pueden sumar entre sí y multiplicar por números (escalas). Por ejemplo, en el espacio bidimensional, los vectores pueden apuntar a cualquier lugar en el plano 2D y pueden estirarse o encogerse según la multiplicación escalar.

Un grupo abeliano es un conjunto equipado con una operación que combina dos elementos del conjunto para formar otro elemento. La operación es asociativa y conmutativa, y para cada elemento existe un elemento identidad y un inverso.

Ahora, pongamos juntos estos conceptos y presentemos el módulo.

¿Qué es un módulo?

Un módulo es similar a un espacio vectorial, pero en él los escalares se toman de un anillo en vez de un campo. Esto significa que en lugar de requerir que cada escalar tenga un inverso multiplicativo, solo requerimos que las operaciones de suma y multiplicación ocurran en un anillo, y sus propiedades son similares a las de los números regulares.

Definición: Un módulo M sobre un anillo R es un grupo abeliano (M, +) junto con una operación de multiplicación R × M → M que satisface tres axiomas: 
    1. r(m + n) = rm + rn para todo r en R y m, n en M (distribuye sobre la suma en M), 
    2. (r + s)m = rm + sm para todo r, s en R y m en M (distribuye sobre la suma en R), 
    3. (rs)m = r(sm) para todo r, s en R y m en M (asociativa), 
    4. 1m = m para todo m en M (donde 1 es la identidad multiplicativa en R).

Ejemplos de módulos

Ejemplo 1: Grupo abeliano

Cada grupo abeliano se puede considerar como un módulo sobre el anillo de los enteros (ℤ). Aquí, los escalares son simplemente los enteros, y la acción de un escalar sobre los elementos es la multiplicación entera. Por ejemplo, ℤ es un módulo sobre sí mismo, donde el anillo es ℤ y la multiplicación es la multiplicación entera regular.

Ejemplo 2: Espacio vectorial

Cualquier espacio vectorial sobre un campo F también es un módulo sobre F. Por ejemplo, si tomamos un espacio vectorial de dimensión 2, entonces podemos formularlo de la siguiente manera:

El vector rojo v se puede escalar por cualquier escalar del campo F, convirtiéndolo en un módulo.

Más ejemplos visuales

Consideremos un conjunto de matrices 2x2 como un módulo sobre un anillo de enteros. Cada matriz puede considerarse como un elemento en el módulo:

A = |ab| |cd|

Aquí, cada uno de los componentes a, b, c, y d proviene de enteros, y las operaciones en matrices siguen las reglas de la suma de matrices y la multiplicación escalar.

Ejemplo 4: Anillo de polinomios

Los anillos de polinomios son ejemplos clásicos de módulos. Consideremos polinomios con coeficientes de un anillo R, digamos R[x]. El conjunto de polinomios en x forma un módulo sobre R, y los polinomios se pueden sumar o multiplicar por escalares de R mientras permanecen dentro del módulo.

Supongamos R = ℤ (enteros): 
    f(x) = 2x^2 + 3x + 5, 
    g(x) = x^2 + 4 
    h(x) = 3f(x) - 2g(x) 
    h(x) = 3(2x^2 + 3x + 5) - 2(x^2 + 4) 
    h(x) = 6x^2 + 9x + 15 - 2x^2 - 8 
    h(x) = 4x^2 + 9x + 7

Homomorfismo de módulo

Al igual que los espacios vectoriales, los módulos tienen un concepto correspondiente de mapas lineales, llamados homomorfismos de módulo. Un homomorfismo de módulo es una función entre dos módulos que respeta la estructura del módulo.

Definición: Sean M y N módulos R. Una función φ: M → N es un homomorfismo de módulo si para todo m, n en M y r en R, φ satisface: 
    1. φ(m + n) = φ(m) + φ(n) 
    2. φ(rm) = rφ(m)

El núcleo y la imagen de un homomorfismo de módulo tienen propiedades que se encuentran en la teoría del espacio vectorial, lo que los convierte en objetos de estudio importantes en la estructura de los módulos.

Submódulos

Un submódulo es un subgrupo de un módulo que está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar. Por ejemplo, si N es un submódulo de M, entonces cada combinación lineal de los elementos de N todavía está en N.

Ejemplo de submódulos

Consideremos un módulo M donde M es ℤ[i] (el conjunto de enteros gaussianos, números complejos de la forma a+bi donde a y b son enteros). Un submódulo de ℤ[i] puede ser el conjunto de todos los elementos a+bi donde ab es divisible por 3:

N = { a+bi ∈ ℤ[i] | ab ≡ 0 (mod 3) }

N está cerrado bajo la suma y la multiplicación escalar, por lo que es un submódulo de M.

Aplicaciones de los módulos

Los módulos se utilizan ampliamente en muchas áreas de las matemáticas y la ciencia aplicada. Proporcionan un marco para trabajar con estructuras algebraicas que pueden operar de una manera más general que los espacios vectoriales o los grupos abelianos.

Aplicaciones en álgebra lineal

En álgebra lineal, los módulos nos permiten trabajar con matrices y ecuaciones lineales en un contexto más amplio que los espacios vectoriales, y proporcionan información sobre soluciones y propiedades de ecuaciones sobre anillos en lugar de campos.

Aplicaciones en geometría algebraica

La geometría algebraica utiliza el concepto de módulos para trabajar con haces y anillos de secciones, que son importantes para el estudio de curvas algebraicas y variedades.

Aplicaciones en informática

En informática, los módulos se pueden usar para trabajar con la corrección de errores en la teoría de códigos y criptografía, y la seguridad de datos sobre anillos, incluidos los campos finitos.

Conclusión

Los módulos son una generalización fundamental de los espacios vectoriales, proporcionando una herramienta versátil para trabajar con una variedad de estructuras algebraicas en campos tanto matemáticos como aplicados. Son un concepto esencial para entender estructuras algebraicas avanzadas y tienen diversas aplicaciones en muchas disciplinas.

Comentarios