域上的向量空间

向量空间是数学中的基本结构，用于定义大量数学概念。域上的向量空间理论在线性代数中起着关键作用，并广泛应用于各种科学和工程学科的多种应用中。理解向量空间有助于我们理解线性变换的行为，这在解线性方程组、数据建模、计算机图形学和许多其他领域中是至关重要的。

简介

从核心上讲，域上的向量空间是一个集合，具备满足某些公理的两个运算。这些运算是向量加法和由域的元素进行的标量乘法。最熟悉的向量空间之一是欧几里得空间，我们通常将其视为平坦的或三维的空间。

理解域的概念对理解向量空间也很重要。域是一个集合，其中加法、减法、乘法和除法被定义并且表现得像有理数和实数。常见的域示例包括实数域、有理数域和复数域。

向量空间的定义

域 F 上的向量空间 V（通常称为 F 向量空间）是一个集合，配备两个运算：

1. 向量加法：
   对于任意 u, v in V，存在一个元素 u + v in V。运算 + 是可交换和结合的，存在一个元素 0 in V 作为加法单位元，对于每个 v in V，存在一个元素 -v 使得 v + -v = 0。
2. 标量乘法：
   对于每个 a in F（标量）和 v in V，存在一个元素 a cdot v in V，其中标量乘法对向量加法和域加法是分配的，对域乘法是结合的，并且域的乘法单位元作为向量空间上的乘法单位元。

公理：

对于所有 u, v, w in V 和 a, b in F，向量空间必须满足以下八个公理：

1. u + v = v + u（向量加法的可交换性）
2. (u + v) + w = u + (v + w)（向量加法的结合性）
3. 存在一个元素 0 使得 v + 0 = v（加法单位元）
4. 对于每个 v 存在一个元素 -v 使得 v + -v = 0（加法逆元）
5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v（分配律 1）
6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v（分配律 2）
7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v)（标量乘法的结合性）
8. 1 cdot v = v，其中 1 是域 F 中的乘法单位元（乘法单位元）

向量空间的例子

例子 1：实数坐标空间

实数的 n 元组组成一个实数域上的向量空间。例如，已排序的对 (x, y) 组成的集合，其中 x, y in mathbb{R} 被称为 mathbb{R}^2。

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

对于 mathbb{R}^2 中的向量 u = (u_1, u_2) 和 v = (v_1, v_2) 以及 a in mathbb{R}，定义向量加法和标量乘法如下：

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

例子 2：多项式向量空间

考虑系数来自域 F 的次数小于或等于 n 的多项式集合。此集合构成域 F 上的向量空间

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

在这种情况下，定义分量形式的向量加法和标量乘法：

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

例子 3：函数空间

从集合 S 到域 F 的所有函数的集合也能构成一个向量空间。令 V 为从 S 到 mathbb{R} 的函数集合，则对于任何 f, g in V，定义向量加法和标量乘法如下：

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

基和维数

向量空间 V 的基是 V 中线性无关并延展 V 的向量集合 B = {v_1, v_2, ldots, v_n} 这意味着 V 中的每个向量都能被唯一表示为 B 中文的方法。

如果有一个由 n 个向量组成的基，则称向量空间为 n 维。例如，mathbb{R}^3 的标准基是 {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}，并且 mathbb{R}^3 的维数为3。

子空间

向量空间 V 的一个子集 W 在 V 上定义的加法和标量乘法下是一个子空间，如果 W 本身是一个向量空间。

为了验证 W 是 V 的子空间，它必须满足以下三个条件：

1. V 的零向量在 W 中
2. W 对向量加法封闭。
   如果 u, v in W，那么 u + v in W
3. W 对标量乘法封闭。
   如果 a in F 和 v in W，那么 a cdot v in W

线性变换

线性变换是在域 F 上的向量空间之间的函数，保持向量空间的结构。如果 V 和 W 是域 F 上的向量空间，那么函数 T: V to W 是线性变换，如果对于所有 u, v in V 和 a in F：

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

结论

域上的向量空间为处理从线性代数到更广泛的抽象概念提供了一个强大的框架。它们在探索多维空间解决方案方面是必不可少的，并且为现代科学计算、优化方法和理论物理奠定了基础。基、维数、子空间和线性变换的概念扩展了我们对空间的理解，准备我们解决数学和现实应用中的各种问题。

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