Векторное пространство над полем

Векторные пространства являются фундаментальными структурами в математике и используются для определения большого числа математических понятий. Теория векторных пространств над полями играет ключевую роль в линейной алгебре и широко применяется в различных научных и инженерных дисциплинах. Понимание векторных пространств помогает нам понять поведение линейных преобразований, которые необходимы для решения систем линейных уравнений, моделирования данных, компьютерной графики и во многих других областях.

Введение

В своей основе, векторное пространство над полем — это множество, оснащенное двумя операциями, которые удовлетворяют определенным аксиомам. Эти операции — сложение векторов и умножение векторов на скаляр из поля. Одним из наиболее знакомых векторных пространств является евклидово пространство, которое мы часто представляем как плоское или трехмерное пространство.

Понятие поля также важно для понимания векторных пространств. Поле — это множество, на котором определены операции сложения, вычитания, умножения и деления, и они ведут себя как рациональные и действительные числа. Общие примеры полей включают поле действительных чисел, рациональных чисел и комплексных чисел.

Определение векторного пространства

Векторное пространство V над полем F (часто называемое F-векторным пространством) — это множество, оснащенное двумя операциями:

1. Сложение векторов:
   Для любых u, v in V существует элемент u + v in V. Операция + является коммутативной и ассоциативной, существует элемент 0 in V, который действует как аддитивная единица, и для каждого v in V существует элемент -v, такой что v + -v = 0.
2. Умножение на скаляр:
   Для каждого a in F (скаляр) и v in V существует элемент a cdot v in V, где умножение на скаляр является дистрибутивным относительно сложения векторов и сложения в поле, ассоциативным с умножением в поле и мультипликативная единица полей действует как мультипликативная единица в векторных пространствах.

Аксиомы:

Векторное пространство должно удовлетворять следующим восьми аксиомам для всех u, v, w in V и a, b in F:

1. u + v = v + u (коммутативность сложения векторов)
2. (u + v) + w = u + (v + w) (ассоциативность сложения векторов)
3. Существует элемент 0, такой что v + 0 = v (аддитивная единица)
4. Для каждого v существует элемент -v, такой что v + -v = 0 (аддитивный обратный)
5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v (дистрибутивное свойство 1)
6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v (дистрибутивное свойство 2)
7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v) (ассоциативность умножения на скаляр)
8. 1 cdot v = v, где 1 — мультипликативная единица в поле F (мультипликативная единица)

Примеры векторных пространств

Пример 1: Пространство действительных координат

Множество n-кортежей действительных чисел образует векторное пространство над полем действительных чисел. Например, множество упорядоченных пар (x, y), где x, y in mathbb{R} известно как mathbb{R}^2.

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

Для векторов u = (u_1, u_2) и v = (v_1, v_2) в mathbb{R}^2 и a in mathbb{R}, сложение векторов и умножение на скаляр определяется следующим образом:

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

Пример 2: Векторное пространство многочленов

Рассмотрим множество многочленов степени, не превосходящей n с коэффициентами из поля F. Это множество образует векторное пространство над полем F.

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

В этом случае сложение векторов и умножение на скаляр определяются покомпонентно:

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

Пример 3: Функциональное пространство

Множество всех функций из множества S в поле F также может образовывать векторное пространство. Пусть V — это множество функций из S в mathbb{R}, тогда для любых f, g in V сложение векторов и умножение на скаляр определяются следующим образом:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

База и размерности

Базис векторного пространства V — это множество векторов B = {v_1, v_2, ldots, v_n} в V, которые линейно независимы и порождают V. Это означает, что каждый вектор в V может быть единственным образом выражен как линейная комбинация векторов из B.

О векторном пространстве говорят, что у него размерность n, если у него есть базис, состоящий из n векторов. Например, стандартный базис для mathbb{R}^3 — это {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, и размерность mathbb{R}^3 равна 3.

Подпространство

Подмножество W векторного пространства V является подпространством, если W само по себе является векторным пространством относительно операций сложения и умножения на скаляр, определенным на V.

Чтобы подтвердить, что W является подпространством V, оно должно удовлетворять следующим трем критериям:

1. Нулевой вектор из V находится в W
2. W замкнуто относительно сложения векторов.
   Если u, v in W, то u + v in W
3. W замкнуто относительно умножения на скаляр.
   Если a in F и v in W, то a cdot v in W

Линейные преобразования

Линейные преобразования — это функции между векторными пространствами, которые сохраняют структуру векторного пространства. Если V и W — векторные пространства над полем F, тогда функция T: V to W является линейным преобразованием, если для всех u, v in V и a in F:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

Заключение

Векторные пространства над полями предоставляют мощный каркас для работы с абстрактными понятиями из линейной алгебры и за ее пределами. Они необходимы для изучения решений в многомерных пространствах и служат основой для современных научных вычислений, методов оптимизации и теоретической физики. Понятия базиса, размера, подпространств и линейных преобразований расширяют наше понимание пространств и подготавливают нас к решению множества разнообразных задач в математики и приложениях в реальной жизни.

Визуальный пример

комментарии