Espaço vetorial sobre um campo

Os espaços vetoriais são estruturas fundamentais na matemática e são usados para definir um grande número de conceitos matemáticos. A teoria dos espaços vetoriais sobre campos desempenha um papel-chave na álgebra linear e é amplamente utilizada em uma variedade de aplicações em diversas disciplinas científicas e de engenharia. Compreender os espaços vetoriais nos ajuda a entender o comportamento das transformações lineares, que são essenciais na resolução de sistemas de equações lineares, modelagem de dados, gráficos de computador e muitas outras áreas.

Introdução

No seu núcleo, um espaço vetorial sobre um campo é um conjunto equipado com duas operações que satisfazem certos axiomas. Essas operações são a adição vetorial e a multiplicação escalar por elementos do campo. Um dos espaços vetoriais mais familiares é o espaço euclidiano, que frequentemente pensamos como um espaço plano ou tridimensional.

O conceito de um campo também é importante para entender os espaços vetoriais. Um campo é um conjunto no qual a adição, subtração, multiplicação e divisão são definidas e se comportam como para números racionais e reais. Exemplos comuns de campos incluem o campo dos números reais, números racionais e números complexos.

Definição de espaço vetorial

Um espaço vetorial V sobre um campo F (frequentemente chamado o F-espaço vetorial) é um conjunto equipado com duas operações:

1. Adição vetorial:
   Para qualquer u, v in V, existe um elemento u + v in V. A operação + é comutativa e associativa, existe um elemento 0 in V que atua como identidade aditiva, e para cada v in V, existe um elemento -v tal que v + -v = 0.
2. Multiplicação escalar:
   Para cada a in F (um escalar) e v in V, existe um elemento a cdot v in V onde a multiplicação escalar é distributiva sobre a adição vetorial e adição de campos, associativa com a multiplicação de campo, e a identidade multiplicativa de campos atua como a identidade multiplicativa em espaços vetoriais.

Axioma:

O espaço vetorial deve satisfazer os seguintes oito axiomas para todos os u, v, w in V e a, b in F:

1. u + v = v + u (comutatividade da adição vetorial)
2. (u + v) + w = u + (v + w) (associatividade da adição vetorial)
3. Existe um elemento 0 tal que v + 0 = v (identidade aditiva)
4. Para cada v existe um elemento -v tal que v + -v = 0 (inverso aditivo)
5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v (Propriedade Distributiva 1)
6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v (Propriedade Distributiva 2)
7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v) (Associatividade da multiplicação escalar)
8. 1 cdot v = v, onde 1 é a identidade multiplicativa no campo F (identidade multiplicativa)

Exemplos de espaços vetoriais

Exemplo 1: Espaço de coordenadas reais

O conjunto de n tuplas de números reais forma um espaço vetorial sobre o campo dos números reais. Por exemplo, o conjunto de pares ordenados (x, y) onde x, y in mathbb{R} é conhecido como mathbb{R}^2.

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

Para os vetores u = (u_1, u_2) e v = (v_1, v_2) em mathbb{R}^2 e a in mathbb{R}, a adição vetorial e a multiplicação escalar são definidas da seguinte forma:

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

Exemplo 2: Espaço vetorial de polinômios

Considere o conjunto de polinômios de grau menor ou igual a n com coeficientes do campo F Este conjunto forma um espaço vetorial sobre o campo F

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

Neste caso, a adição vetorial e a multiplicação escalar são definidas componente a componente:

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

Exemplo 3: Espaço de funções

O conjunto de todas as funções de um conjunto S para um campo F também pode formar um espaço vetorial. Seja V o conjunto de funções de S para mathbb{R}, então para qualquer f, g in V, a adição vetorial e a multiplicação escalar são definidas da seguinte forma:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

Base e dimensões

Uma base de um espaço vetorial V é um conjunto de vetores B = {v_1, v_2, ldots, v_n} em V que são linearmente independentes e estendem V Isso significa que cada vetor em V pode ser expresso de forma única como uma combinação linear de vetores em B

Um espaço vetorial é dito ter dimensão n se tem uma base constituída por n vetores. Por exemplo, a base padrão para mathbb{R}^3 é {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, e a dimensão de mathbb{R}^3 é 3.

Subespaço

Um subconjunto W de um espaço vetorial V é um subespaço se W em si é um espaço vetorial sob as operações de adição e multiplicação escalar definidas em V

Para verificar se W é um subespaço de V, deve satisfazer os seguintes três critérios:

1. O vetor zero de V está em W
2. W é fechado sob adição vetorial.
   Se u, v in W, então u + v in W
3. W é fechado sob multiplicação escalar.
   Se a in F e v in W, então a cdot v in W

Transformações lineares

Transformações lineares são funções entre espaços vetoriais que preservam a estrutura do espaço vetorial. Se V e W são espaços vetoriais sobre um campo F, então a função T: V to W é uma transformação linear se para todos os u, v in V e a in F:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

Conclusão

Espaços vetoriais sobre campos fornecem uma estrutura poderosa para trabalhar com conceitos abstratos da álgebra linear e além. São essenciais para explorar soluções em espaços multidimensionais e servem como base para cálculos científicos modernos, métodos de otimização e física teórica. Os conceitos de base, dimensão, subespaços e transformações lineares alargam nossa compreensão dos espaços e nos preparam para enfrentar uma ampla variedade de problemas em matemática e aplicações do mundo real.

Exemplo visual

Comentários