体上のベクトル空間

ベクトル空間は数学の基本的な構造であり、多くの数学的概念を定義するために使用されます。体上のベクトル空間の理論は線形代数において重要な役割を果たし、さまざまな科学および工学の分野で広く応用されています。ベクトル空間を理解することは、線形変換の挙動を理解するのに役立ちます。線形変換は連立一次方程式の解決、データモデリング、コンピュータグラフィックスなどに必須です。

導入

本質的に、体上のベクトル空間は特定の公理を満たす2つの演算を備えた集合です。これらの演算はベクトルの加算および体からの要素によるスカラー乗算です。最も身近なベクトル空間の1つはユークリッド空間で、平坦または三次元空間と考えることが多いです。

体の概念もベクトル空間を理解するために重要です。体とは、加算、減算、乗算、および除算が定義され、分数や実数についてのように振る舞う集合です。一般的な体の例には、実数の体、有理数の体、複素数の体があります。

ベクトル空間の定義

体 F 上のベクトル空間 V（しばしばF-ベクトル空間と呼ばれる）は、2つの演算を備えた集合です：

1. ベクトル加算：
   任意の u, v in V に対して、u + v in V という要素があります。演算 + は可換的および結合的で、加法の単位元として働く 0 in V という要素が存在し、各 v in V に対して -v という要素が存在し、v + -v = 0 となります。
2. スカラー乗算：
   任意の a in F （スカラー）および v in V に対して、a cdot v in V という要素があり、スカラーの乗算はベクトル加算および体の加算に対して分配法則を満たし、体の乗算に対して結合的で、体の乗法単位元がベクトル空間の乗法単位元として機能します。

公理：

ベクトル空間はすべての u, v, w in V および a, b in F に対して次の8つの公理を満たさなければなりません：

1. u + v = v + u （ベクトル加算の可換性）
2. (u + v) + w = u + (v + w) （ベクトル加算の結合性）
3. v + 0 = v （加法の単位元）になる要素 0 が存在します
4. 各 v に対して v + -v = 0 になる要素 -v が存在します（加法の逆元）
5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v （分配性 1）
6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v （分配性 2）
7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v) （スカラー乗算の結合性）
8. 1 cdot v = v 、ここで1 は体 F の乗法単位元（乗法単位元）

ベクトル空間の例

例1: 実数座標空間

実数の n 対のセットは実数のフィールド上のベクトルスペースを形成します。たとえば、順序対(x, y)のセットで x, y in mathbb{R} はmathbb{R}^2として知られています。

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

ベクトルu = (u_1, u_2)とv = (v_1, v_2)がmathbb{R}^2にあり、a in mathbb{R}である場合、ベクトル加算とスカラー乗算は次のように定義されます：

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

例2: 多項式ベクトル空間

フィールドFからの係数を持つn以下の次の多項式のセットを考えます。このセットはフィールドF上のベクトルスペースを形成します。

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

この場合、ベクトル加算とスカラー乗算は成分ごとに定義されます：

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

例3: 関数空間

集合SからフィールドFへのすべての関数の集合もベクトル空間を形成することがあります。VをSからmathbb{R}への関数のセットとし、任意のf, g in Vに対し、ベクトル加算とスカラー乗算を次のように定義します：

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

基底と次元

ベクトル空間Vの基底はV内のB = {v_1, v_2, ldots, v_n}という線形独立でVを拡張するベクトルの集合です。つまり、VのすべてのベクトルはBのベクトルの線形結合として一意に表現できます。

ベクトル空間はn個のベクトルからなる基底を持つ場合、次元nを持つといいます。たとえば、mathbb{R}^3の標準基底は{(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}であり、mathbb{R}^3の次元は3です。

部分空間

ベクトル空間Vの部分集合Wは、加算とVで定義されたスカラー乗算の演算の下で自体がベクトル空間である場合に部分空間といいます。

WがVの部分空間であることを検証するには、次の3つの基準を満たさなければなりません：

1. Vの零ベクトルがWにあります
2. Wはベクトル加算に閉じています。
   もしu, v in Wならばu + v in W
3. Wはスカラー乗算に閉じています。
   もしa in Fおよびv in Wならばa cdot v in W

線形変換

線形変換はベクトル空間間でベクトル空間の構造を保持する関数です。VとWがフィールドF上のベクトル空間である場合、関数T: V to Wは任意のu, v in Vおよびa in Fに対して次の条件を満たすときに線形変換といいます：

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

結論

体上のベクトル空間は線形代数やそれを超える抽象的な概念を扱うための強力な枠組みを提供します。それらは多次元空間での解の探求に不可欠であり、現代の科学計算、最適化方法、理論物理学の基礎として役立ちます。基底、次元、部分空間、線形変換の概念は空間の理解を拡張し、数学および実世界の多様な問題に取り組む準備を整えます。

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