फील्ड पर वेक्टर स्पेस

वेक्टर स्पेस गणित में बुनियादी संरचनाएँ हैं और बड़ी संख्या में गणितीय अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाती हैं। फील्ड्स पर वेक्टर स्पेस का सिद्धांत रैखिक बीजगणित में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और विभिन्न वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग क्षेत्रों में कई अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। वेक्टर स्पेस को समझने से हमें रैखिक रूपांतरणों के व्यवहार को समझने में मदद मिलती है, जो रैखिक समीकरणों के प्रणालियों, डेटा मॉडलिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स और कई अन्य क्षेत्रों में आवश्यक हैं।

परिचय

अपने मूल में, किसी फील्ड पर वेक्टर स्पेस एक सेट होता है जिसमें दो ऑपरेशन होते हैं जो कुछ स्वयंसिद्धाओं को संतुष्ट करते हैं। ये ऑपरेशन वेक्टर जोड़ और फील्ड के तत्वों द्वारा स्केलर गुणा होते हैं। सबसे परिचित वेक्टर स्पेस में से एक यूक्लिडियन स्पेस है, जिसे हम अक्सर एक समतल या त्रि-आयामी स्थान के रूप में सोचते हैं।

फील्ड की अवधारणा वेक्टर स्पेस को समझने में भी महत्वपूर्ण है। फील्ड एक सेट है जिस पर जोड़, घटाना, गुणा और भागिभाजन परिभाषित हैं और वे परिमाणित और वास्तविक संख्याओं के जैसे व्यवहार करते हैं। फील्ड के सामान्य उदाहरणों में वास्तविक संख्याओं का फील्ड, परिमाण संख्याओं का फील्ड, और संख्याओं का फील्ड शामिल हैं।

वेक्टर स्पेस की परिभाषा

फील्ड F पर एक वेक्टर स्पेस V (जिसे अक्सर F-वेक्टर स्पेस कहा जाता है) एक सेट है जिसमें दो ऑपरेशन होते हैं:

1. वेक्टर जोड़:
   किसी भी u, v in V के लिए, एक तत्व u + v in V होता है। ऑपरेशन + प्रतिस्थापनयोग्य और संघेय होता है, एक तत्व 0 in V होता है जो जोड़नामिकता के रूप में कार्य करता है, और प्रत्येक v in V के लिए, एक तत्व -v होता है ताकि v + -v = 0।
2. स्केलर गुणा:
   प्रत्येक a in F (एक स्केलर) और v in V के लिए, एक तत्व a cdot v in V होता है जहां स्केलर गुणा वेक्टर जोड़ और फील्ड जोड़ पर वितरणयोग्य होता है, फील्ड गुणा के साथ सम्मिलनीय होता है, और फील्ड्स का गुणनात्मक पहचान वेक्टर स्पेस पर गुणनात्मक पहचान के रूप में कार्य करता है।

स्वयंसिद्ध:

वेक्टर स्पेस को सभी u, v, w in V और a, b in F के लिए निम्न आठ स्वयंसिद्धों को संतोषजनक बनाना चाहिए:

1. u + v = v + u (वेक्टर जोड़ का प्रतिस्थापनयोग्यता)
2. (u + v) + w = u + (v + w) (वेक्टर जोड़ का संघेयता)
3. एक तत्व 0 होता है ताकि v + 0 = v (जोड़नाम पहचान)
4. प्रत्येक v के लिए एक तत्व -v होता है ताकि v + -v = 0 (जोड़नाम उलट)
5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v (वितरण गुणधर्म 1)
6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v (वितरण गुणधर्म 2)
7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v) (स्केलर गुणा का संघेयता)
8. 1 cdot v = v, जहां 1 फील्ड F में गुणनात्मक पहचान है (गुणनात्मक पहचान)

वेक्टर स्पेस के उदाहरण

उदाहरण 1: वास्तविक निर्देशांक स्थान

वास्तविक संख्याओं के फील्ड पर n टपल्स का सेट एक वेक्टर स्पेस बनाता है। उदाहरण के लिए, व्यवस्थित युग्मों का सेट (x, y) जहां x, y in mathbb{R} को mathbb{R}^2 के रूप में जाना जाता है।

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

वेक्टर u = (u_1, u_2) और v = (v_1, v_2) mathbb{R}^2 में और a in mathbb{R} के जोड़ और स्केलर गुणा को निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित किया जाता है:

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

उदाहरण 2: बहुपद वेक्टर स्पेस

फील्ड F से गुणांक के साथ डिग्री n से कम या बराबर के बहुपदों के सेट को फील्ड F पर एक वेक्टर स्पेस कहा जाता है

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

इस मामले में, वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा घटकानुसार परिभाषित होते हैं:

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

उदाहरण 3: फंक्शन स्पेस

एक सेट S से एक फील्ड F के सभी फंक्शनों का सेट भी एक वेक्टर स्पेस बना सकता है। मान लें कि V S से mathbb{R} के फंक्शनों का सेट है, फिर किसी भी f, g in V के लिए, वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा निम्नलिखित प्रकार से परिभाषित होते हैं:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

मूल्य और आयाम

एक वेक्टर स्पेस V का आधार B = {v_1, v_2, ldots, v_n} का एक सेट होता है जो V में होते हैं और V का विस्तार करते हैं। इसका मतलब है कि V का प्रत्येक वेक्टर को B में वेक्टरों के रैखिक संयोजन के रूप में विशेष रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

यदि एक वेक्टर स्पेस में n वेक्टरों से मिलकर एक आधार होता है तो कहा जाता है कि इसका आयाम n है। उदाहरण के लिए, mathbb{R}^3 का मानक आधार {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} है, और mathbb{R}^3 का आयाम 3 है।

उपस्थान

एक वेक्टर स्पेस V का एक उपसमूह W एक उपस्थान होता है अगर W स्वंय V पर परिभाषित जोड़ और स्केलर गुणा के ऑपरेशनों के तहत एक वेक्टर स्पेस होता है।

इसकी पुष्टि करने के लिए कि W V का उपस्थान है अब यह निम्नलिखित तीन मापदण्डों को पूरा करेगा:

1. V का शून्य वेक्टर W में है
2. W वेक्टर जोड़ के तहत बंद है।
   अगर u, v in W, तो u + v in W
3. W स्केलर गुणा के तहत बंद है।
   अगर a in F और v in W, तो a cdot v in W

रैखिक रूपांतरण

रैखिक रूपांतरण वेक्टर स्पेस के बीच वे कार्य होते हैं जो वेक्टर स्पेस संरचना को बनाए रखते हैं। अगर V और W एक फील्ड F पर वेक्टर स्पेस हैं, तो कार्य T: V to W एक रैखिक रूपांतरण है अगर सभी u, v in V और a in F के लिए:

1. T(u + v) = T(u) + T(v)
2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

निष्कर्ष

फील्ड पर वेक्टर स्पेस रैखिक बीजगणित और उससे आगे के सार अवधारणाओं के साथ काम करने के लिए एक शक्तिशाली ढाँचा प्रदान करते हैं। वे बहु-आयामी स्थानों में समाधानों का पता लगाने के लिए आवश्यक हैं और आधुनिक वैज्ञानिक गणनाओं, अनुकूलन विधियों और सैद्धांतिक भौतिकी के लिए एक नींव के रूप में कार्य करते हैं। आधार, आयाम, उपसमूह और रैखिक रूपांतरण की अवधारणाएं हमें स्थानों की समझ को व्यापक बनाती हैं और हमें गणित और वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में विभिन्न प्रकार की समस्याओं का समाधान करने के लिए तैयार करती हैं।

दृश्य उदाहरण

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