Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

Universitario → Álgebra → Álgebra abstracta ↓


Espacio vectorial sobre un campo


Los espacios vectoriales son estructuras fundamentales en matemáticas y se utilizan para definir una gran cantidad de conceptos matemáticos. La teoría de los espacios vectoriales sobre campos juega un papel clave en el álgebra lineal y se utiliza ampliamente en una variedad de aplicaciones en diversas disciplinas científicas e ingenieriles. Comprender los espacios vectoriales nos ayuda a entender el comportamiento de las transformaciones lineales, que son esenciales para resolver sistemas de ecuaciones lineales, modelado de datos, gráficos por computadora y muchas otras áreas.

Introducción

En su esencia, un espacio vectorial sobre un campo es un conjunto equipado con dos operaciones que satisfacen ciertos axiomas. Estas operaciones son la suma de vectores y la multiplicación escalar por elementos del campo. Uno de los espacios vectoriales más familiares es el espacio euclidiano, que a menudo pensamos como un espacio plano o tridimensional.

El concepto de campo también es importante para entender los espacios vectoriales. Un campo es un conjunto en el que la suma, resta, multiplicación y división están definidas y se comportan como para los números racionales y reales. Ejemplos comunes de campos incluyen el campo de los números reales, los números racionales y los números complejos.

Definición de espacio vectorial

Un espacio vectorial V sobre un campo F (a menudo llamado el espacio vectorial F) es un conjunto equipado con dos operaciones:

  1. Suma de vectores:
    Para cualquier u, v in V, hay un elemento u + v in V. La operación + es conmutativa y asociativa, hay un elemento 0 in V que actúa como identidad aditiva, y para cada v in V, hay un elemento -v tal que v + -v = 0.
  2. Multiplicación escalar:
    Para cada a in F (un escalar) y v in V, hay un elemento a cdot v in V donde la multiplicación escalar es distributiva sobre la suma de vectores y la suma de campos, asociativa con la multiplicación de campos, y la identidad multiplicativa de los campos actúa como la identidad multiplicativa en los espacios vectoriales.

Axioma:

El espacio vectorial debe satisfacer los siguientes ocho axiomas para todos u, v, w in V y a, b in F:

  1. u + v = v + u (conmutatividad de la suma de vectores)
  2. (u + v) + w = u + (v + w) (asociatividad de la suma de vectores)
  3. Existe un elemento 0 tal que v + 0 = v (identidad aditiva)
  4. Para cada v existe un elemento -v tal que v + -v = 0 (inverso aditivo)
  5. a cdot (u + v) = a cdot u + a cdot v (Propiedad Distributiva 1)
  6. (a + b) cdot v = a cdot v + b cdot v (Propiedad Distributiva 2)
  7. (a cdot b) cdot v = a cdot (b cdot v) (Asociatividad de la multiplicación escalar)
  8. 1 cdot v = v, donde 1 es la identidad multiplicativa en el campo F (identidad multiplicativa)

Ejemplos de espacios vectoriales

Ejemplo 1: Espacio de coordenadas reales

El conjunto de n tuplas de números reales forma un espacio vectorial sobre el campo de los números reales. Por ejemplo, el conjunto de pares ordenados (x, y) donde x, y in mathbb{R} se conoce como mathbb{R}^2.

mathbf{R}^2 = left{ (x, y) ,|, x, y in mathbf{R} right}

Para los vectores u = (u_1, u_2) y v = (v_1, v_2) en mathbb{R}^2 y a in mathbb{R}, la suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de la siguiente manera:

u + v = (u_1 + v_1, u_2 + v_2) a cdot u = (a cdot u_1, a cdot u_2)

Ejemplo 2: Espacio vectorial de polinomios

Considere el conjunto de polinomios de grado menor o igual a n con coeficientes del campo F Este conjunto forma un espacio vectorial sobre el campo F

F_n[x] = left{ a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n ,|, a_i in F right}

En este caso, la suma de vectores y la multiplicación escalar se definen componente a componente:

(a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) + (b_0 + b_1 x + cdots + b_n x^n) = (a_0 + b_0) + (a_1 + b_1)x + cdots + (a_n + b_n)x^n c cdot (a_0 + a_1 x + cdots + a_n x^n) = c cdot a_0 + c cdot a_1 x + cdots + c cdot a_n x^n

Ejemplo 3: Espacio de funciones

El conjunto de todas las funciones de un conjunto S a un campo F también puede formar un espacio vectorial. Sea V el conjunto de funciones de S a mathbb{R}, entonces para cualquier f, g in V, la suma de vectores y la multiplicación escalar se definen de la siguiente manera:

(f + g)(x) = f(x) + g(x) (a cdot f)(x) = a cdot f(x)

Base y dimensiones

Una base de un espacio vectorial V es un conjunto de vectores B = {v_1, v_2, ldots, v_n} en V que son linealmente independientes y extienden V Esto significa que cada vector en V puede expresarse de manera única como una combinación lineal de vectores en B

Se dice que un espacio vectorial tiene dimensión n si tiene una base que consiste en n vectores. Por ejemplo, la base estándar para mathbb{R}^3 es {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)}, y la dimensión de mathbb{R}^3 es 3.

Subespacio

Un subconjunto W de un espacio vectorial V es un subespacio si W en sí es un espacio vectorial bajo las operaciones de suma y multiplicación escalar definidas en V

Para verificar que W es un subespacio de V, debe satisfacer los siguientes tres criterios:

  1. El vector cero de V está en W
  2. W está cerrado bajo la suma de vectores.
    Si u, v in W, entonces u + v in W
  3. W está cerrado bajo la multiplicación escalar.
    Si a in F y v in W, entonces a cdot v in W

Transformaciones lineales

Las transformaciones lineales son funciones entre espacios vectoriales que preservan la estructura del espacio vectorial. Si V y W son espacios vectoriales sobre un campo F, entonces la función T: V to W es una transformación lineal si para todos u, v in V y a in F:

  1. T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. T(a cdot u) = a cdot T(u)

Conclusión

Los espacios vectoriales sobre campos proporcionan un marco poderoso para trabajar con conceptos abstractos del álgebra lineal y más allá. Son esenciales para explorar soluciones en espacios multidimensionales y sirven como base para cálculos científicos modernos, métodos de optimización y física teórica. Los conceptos de base, dimensión, subespacios y transformaciones lineales amplían nuestra comprensión de los espacios y nos preparan para abordar una amplia variedad de problemas en matemáticas y aplicaciones del mundo real.

Ejemplo visual

V U U+V

Universitario → 1.2.11


U
username
0%
completado en Universitario

← Anterior (1.2.10)
Anillos de polinomios
Siguiente (1.2.12) →
Módulo

Comentarios 



Espacio vectorial sobre un campo

https://www.buddymath.com/ug/1.2.11?bmal=es