Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Álgebra linear


Álgebra linear é um ramo da matemática que lida com vetores, espaços vetoriais (também chamados de espaços lineares), transformações lineares e sistemas de equações lineares. Forma a base de muitas disciplinas científicas e é utilizada em diversos campos, como física, ciência da computação, engenharia e outros.

Introdução ao vetor

Um vetor é um objeto que possui magnitude e direção. Você pode pensar nele como uma seta apontando de um ponto no espaço para outro. Vetores são geralmente representados por símbolos como a, b ou v.

Vetores em 2D

Em duas dimensões, um vetor pode ser representado como um par ordenado de números, que são suas coordenadas. Por exemplo, o vetor v = (3, 4) tem componentes 3 na direção x e 4 na direção y.

v = (3, 4)
(3, 4)

Vetores em 3D

Em três dimensões, um vetor é representado como um triplet de números: v = (x, y, z). O terceiro componente adiciona profundidade ou altura.

v = (3, 4, 5)

Operações com vetores

Várias operações básicas podem ser realizadas em vetores:

Soma de vetores

Para somar dois vetores, basta somar seus componentes correspondentes. Se a = (a1, a2) e b = (b1, b2), então a + b = (a1 + b1, a2 + b2).

a = (3, 4) b = (1, 2) a + b = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
(1, 2) (4, 6)

Multiplicação escalar

A multiplicação escalar envolve escalar um vetor por um número chamado escalar. Para um vetor a = (a1, a2) e um escalar c, o produto c * a = (c*a1, c*a2).

c = 2 a = (3, 4) c * a = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)
(6, 8)

Espaço vetorial

Um espaço vetorial é uma coleção de vetores que são fechados sob a adição de vetores e multiplicação escalar. Isso significa que se você pegar dois vetores em um espaço vetorial e somá-los, o resultado também está no espaço vetorial. Da mesma forma, se você pegar um vetor no espaço e multiplicá-lo por um escalar, o resultado ainda estará no espaço vetorial.

Base e dimensionalidade

Um conjunto de vetores forma uma base para um espaço vetorial se todo vetor no espaço puder ser escrito como uma combinação linear dos vetores base. O número de vetores na base é chamado de dimensão do espaço vetorial.

Por exemplo, em um espaço bidimensional, a base padrão é {(1, 0), (0, 1)}, que tem dimensão 2.

Matrizes

Uma matriz é um arranjo retangular de números dispostos em linhas e colunas. Matrizes são usadas para representar transformações lineares e sistemas de equações lineares.

Representação matricial

A matriz é geralmente denotada por uma letra maiúscula como A ou B e para uma matriz 2x2 é assim:

A = | 1 2 | | 3 4 |

Operações com matrizes

Assim como vetores, podemos realizar operações com matrizes como adição, multiplicação e encontrar o inverso.

Adição de matrizes

Matrizes podem ser adicionadas se tiverem as mesmas dimensões. Para adicionar duas matrizes, some seus elementos correspondentes.

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | A + B = | 1+5 2+6 | | 3+7 4+8 | A + B = | 6 8 | | 10 12 |

Multiplicação de matrizes

A multiplicação de matrizes é mais complexa do que a adição e envolve o produto escalar de linhas e colunas. Se A é uma matriz mxn e B é uma matriz nxp, então o resultado C = AB é uma matriz mxp.

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | AB = | (1*5 + 2*7) (1*6 + 2*8) | | (3*5 + 4*7) (3*6 + 4*8) | AB = | 19 22 | | 43 50 |

Transformações lineares

Uma transformação linear é uma função entre dois espaços vetoriais que preserva a adição de vetores e a multiplicação escalar. Se T é uma transformação linear, então para vetores u e v e um escalar c, as seguintes condições são válidas: T(u + v) = T(u) + T(v) e T(c * u) = c * T(u).

Determinantes e inversos

Determinantes

O determinante é um número especial que pode ser calculado a partir de uma matriz quadrada. Ele fornece informações importantes sobre a matriz, como se ela é ou não invertível e a quantidade de transformação descrita pela matriz.

A = | ab | | cd | det(A) = ad - bc

Inverso

O inverso de uma matriz A é outra matriz, denotada por A^-1, de modo que, quando multiplicadas entre si, resultam na matriz identidade. Nem todas as matrizes têm inversos, e uma matriz deve ser quadrada e ter um determinante diferente de zero para ser invertível.

A = | 1 2 | | 3 4 | A^-1 = (1/det(A)) * | d -b | | -ca | A^-1 = (1/(1*4 - 2*3)) * | 4 -2 | | -3 1 | A^-1 = | -2 1 | | 1.5 -0.5 |

Autovalores e autovetores

Autovalores e autovetores são conceitos importantes em álgebra linear e têm aplicações em muitas áreas da ciência e engenharia. Um autovetor de uma matriz quadrada A é um vetor não nulo v tal que, quando A é multiplicada por v, o resultado é um múltiplo escalar de v. Este escalar é chamado de autovalor.

Av = λv onde: A = matriz v = autovetor λ = autovalor

Aplicações da álgebra linear

Álgebra linear tem muitas aplicações em diversos campos:

  • Gráficos de computador: Álgebra linear é amplamente utilizada em gráficos de computador para representar e manipular imagens e modelos 3D. Transformações como escala, rotação e translação são facilmente realizadas usando matrizes.
  • Engenharia: Engenheiros usam álgebra linear para resolver sistemas de equações lineares que descrevem fenômenos físicos como circuitos elétricos e estruturas mecânicas.
  • Física: Álgebra linear é usada na física para modelar matematicamente o mundo físico. Álgebra linear é amplamente utilizada em tópicos como mecânica quântica e relatividade.
  • Economia: Economistas usam álgebra linear para analisar modelos econômicos e otimizar processos de produção e distribuição.

Conclusão

Álgebra linear é uma área fundamental da matemática que fundamenta muitas disciplinas científicas e de engenharia modernas. Compreender conceitos básicos como vetores, matrizes, transformações lineares e as operações que podem ser realizadas com eles fornece um conjunto de ferramentas poderoso para resolver problemas complexos do mundo real.


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