रेखीय बीजगणित

रेखीय बीजगणित गणित की एक शाखा है जो वेक्टर, वेक्टर स्पेस (जिसे रेखीय स्पेस भी कहा जाता है), रेखीय परिवर्तन और रेखीय समीकरणों की प्रणालियों से संबंधित है। यह कई वैज्ञानिक विषयों की नींव बनाता है और भौतिकी, कंप्यूटर विज्ञान, इंजीनियरिंग और अन्य जैसे विभिन्न क्षेत्रों में इसका उपयोग किया जाता है।

वेक्टर का परिचय

वेक्टर एक वस्तु है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। आप इसे एक बाण के रूप में सोच सकते हैं जो अंतरिक्ष के एक बिंदु से दूसरे बिंदु की ओर इशारा करता है। वेक्टर आमतौर पर a, b, या v जैसे प्रतीकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

2D में वेक्टर

दो आयामों में, किसी वेक्टर को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जो इसके निर्देशांक होते हैं। उदाहरण के लिए, वेक्टर v = (3, 4) के घटक 3 x-दिशा में और 4 y-दिशा में होते हैं।

v = (3, 4)

3D में वेक्टर

तीन आयामों में, किसी वेक्टर को संख्याओं की एक तिकड़ी के रूप में दर्शाया जाता है: v = (x, y, z)। तीसरा घटक गहराई या ऊंचाई जोड़ता है।

v = (3, 4, 5)

वेक्टर संचालन

कई बुनियादी संचालन वेक्टर पर किए जा सकते हैं:

वेक्टर जोड़

दो वेक्टरों को जोड़ने के लिए, आपको बस उनके संबंधित घटकों को जोड़ना होगा। यदि a = (a1, a2) और b = (b1, b2) है, तो a + b = (a1 + b1, a2 + b2)।

a = (3, 4) b = (1, 2) a + b = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)

स्केलर गुणा

स्केलर गुणा में किसी वेक्टर को एक संख्या जिसे स्केलर कहते हैं के द्वारा स्केल किया जाता है। एक वेक्टर a = (a1, a2) और एक स्केलर c के लिए, गुणनफल c * a = (c*a1, c*a2)।

c = 2 a = (3, 4) c * a = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)

वेक्टर स्पेस

एक वेक्टर स्पेस वेक्टरों का एक संग्रह होता है जो वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा के लिए बंद होता है। इसका अर्थ है कि यदि आप वेक्टर स्पेस के दो वेक्टर लेते हैं और उन्हें जोड़ते हैं, तो परिणाम भी वेक्टर स्पेस में होता है। इसी तरह, यदि आप किसी स्पेस में एक वेक्टर लेते हैं और उसे स्केलर से गुणा करते हैं, तो परिणाम अभी भी वेक्टर स्पेस में होता है।

बेस और आयाम

वेक्टरों का एक सेट वेक्टर स्पेस के लिए आधार बनता है यदि स्पेस में हर वेक्टर को आधार वेक्टरों के एक रेखीय संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। आधार में वेक्टरों की संख्या को वेक्टर स्पेस का आयाम कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, दो आयामी स्पेस में, मानक आधार है {(1, 0), (0, 1)}, जिसका आयाम 2 है।

मैट्रिसेस

मैट्रिक्स संख्या की पंक्तियों और स्तंभों में व्यवस्थित एक आयताकार सरणी है। मैट्रिसेस रेखीय परिवर्तन और रेखीय समीकरणों की प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व

मैट्रिक्स आमतौर पर एक बड़े अक्षर से सूचित किया जाता है जैसे A या B और 2x2 मैट्रिक्स के लिए यह इस तरह दिखता है:

A = | 1 2 | | 3 4 |

मैट्रिक्स संचालन

वेक्टरों की तरह, हम मैट्रिसेस पर जोड़, गुणा और इनवर्स ढूँढने जैसे संचालन भी कर सकते हैं।

मैट्रिक्स जोड़

मैट्रिसेस को जोड़ा जा सकता है यदि उनकी समान आयाम होती हैं। दो मैट्रिसेस को जोड़ने के लिए, उनके संबंधित तत्वों को जोड़ें।

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | A + B = | 1+5 2+6 | | 3+7 4+8 | A + B = | 6 8 | | 10 12 |

मैट्रिक्स गुणा

मैट्रिक्स गुणा जोड़ से अधिक जटिल होता है और पंक्तियों और स्तंभों के डॉट उत्पाद को शामिल करता है। यदि A एक mxn मैट्रिक्स है और B एक nxp मैट्रिक्स है, तो परिणाम C = AB एक mxp मैट्रिक्स है।

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | AB = | (1*5 + 2*7) (1*6 + 2*8) | | (3*5 + 4*7) (3*6 + 4*8) | AB = | 19 22 | | 43 50 |

रेखीय परिवर्तन

एक रेखीय परिवर्तन दो वेक्टर स्पेस के बीच एक फ़ंक्शन है जो वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणा को संरक्षित करता है। यदि T एक रेखीय परिवर्तन है, तो वेक्टर u और v और एक स्केलर c के लिए, निम्नलिखित शर्तें लागू होती हैं: T(u + v) = T(u) + T(v) और T(c * u) = c * T(u)।

निर्धारक और इनवर्स

निर्धारक

निर्धारक एक विशेष संख्या है जिसे किसी वर्ग मैट्रिक्स से गणना की जा सकती है। यह मैट्रिक्स की महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है, जैसे कि यह उलटने योग्य है या नहीं और मैट्रिक्स द्वारा वर्णित परिवर्तन की राशि।

A = | ab | | cd | det(A) = ad - bc

इनवर्स

किसी मैट्रिक्स A का इनवर्स एक अन्य मैट्रिक्स है, जिसे A^-1 सूचित किया जाता है, ताकि इन्हें एक साथ गुणा करने पर वे पहचान मैट्रिक्स बन जाएं। सभी मैट्रिसेस के इनवर्स नहीं होते, और किसी मैट्रिक्स को वर्गाकार और उलटने योग्य होने के लिए इसका निर्धारक शून्य नहीं होना चाहिए।

A = | 1 2 | | 3 4 | A^-1 = (1/det(A)) * | d -b | | -ca | A^-1 = (1/(1*4 - 2*3)) * | 4 -2 | | -3 1 | A^-1 = | -2 1 | | 1.5 -0.5 |

स्वयंगमान और स्वयंगवेक्टर

स्वयंगमान और स्वयंगवेक्टर रेखीय बीजगणित की महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं और विज्ञान और इंजीनियरिंग के कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग होते हैं। किसी वर्ग मैट्रिक्स A का स्वयंगवेक्टर एक ऐसी गैर-शून्य वेक्टर v होती है कि जब A को v के साथ गुणा किया जाता है, तो परिणाम v का स्केलर गुणात्मक होता है। इस स्केलर को स्वयंगमान कहा जाता है।

Av = λv जहाँ: A = मैट्रिक्स v = स्वयंगवेक्टर λ = स्वयंगमान

रेखीय बीजगणित के अनुप्रयोग

रेखीय बीजगणित के विभिन्न क्षेत्रों में कई अनुप्रयोग होते हैं:

• कंप्यूटर ग्राफिक्स: कंप्यूटर ग्राफिक्स में छवियों और 3D मॉडलों को दर्शाने और हेरफेर करने के लिए रेखीय बीजगणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। मैट्रिसेस का उपयोग करके स्केलिंग, रोटेशन, और ट्रांसलेशन जैसे रूपांतरण आसानी से किए जाते हैं।
• इंजीनियरिंग: इंजीनियर रेखीय समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए रेखीय बीजगणित का उपयोग करते हैं जो भौतिक घटनाओं जैसे विद्युत सर्किट और यांत्रिक संरचनाओं का वर्णन करते हैं।
• भौतिकी: भौतिकी में भौतिक दुनिया का गणितीय मॉडल बनाने के लिए रेखीय बीजगणित का उपयोग किया जाता है। रेखीय बीजगणित का व्यापक रूप से क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता जैसे विषयों में उपयोग होता है।
• अर्थशास्त्र: अर्थशास्त्री आर्थिक मॉडलों का विश्लेषण करने और उत्पादन और वितरण प्रक्रियाओं को अनुकूलित करने के लिए रेखीय बीजगणित का उपयोग करते हैं।

निष्कर्ष

रेखीय बीजगणित गणিত का एक मौलिक क्षेत्र है जो कई आधुनिक वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग विषयों की नींव प्रदान करता है। वेक्टर, मैट्रिसेस, रेखीय परिवर्तन और उन पर किए जा सकने वाले संचालन जैसी बुनियादी अवधारणाओं को समझना जटिल वास्तविक-जीवन की समस्याओं को हल करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण किट प्रदान करता है।

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