Universitario
  1. Álgebra  1.1. Álgebra lineal  1.1.1. Matrices  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de ecuaciones lineales  1.1.4. Comprender los espacios vectoriales en álgebra lineal  1.1.5. Transformaciones lineales  1.1.6. Valores propios y vectores propios  1.1.7. Diagonalización  1.1.8. Espacio de producto interior  1.1.9. Ortogonalidad y base ortonormal  1.1.10. Descomposición en valores singulares  1.2. Álgebra abstracta  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de permutaciones  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normales  1.2.7. Introducción a los anillos en álgebra abstracta  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideales y anillos cocientes  1.2.10. Anillos de polinomios  1.2.11. Espacio vectorial sobre un campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introducción a la teoría de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Comprender los límites en el cálculo diferencial  2.1.2. Comprendiendo el continuo en cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Comprendiendo la regla de la cadena en el cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciación implícita  2.1.6. Aplicaciones de derivadas  2.1.7. Problemas de optimización  2.1.8. Comprendiendo el teorema del valor medio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definido  2.2.2. Integral indefinido  2.2.3. Técnicas de integración  2.2.4. Integrales impropias  2.2.5. Aplicaciones de la integración  2.2.6. Longitud del arco y área de la superficie  2.3. Cálculo multivariable  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente en cálculo multivariable  2.3.3. Divergencia y rotacional  2.3.4. Introducción a la integración múltiple  2.3.5. Comprender las integrales de línea  2.3.6. Integrales de superficie  2.3.7. Explicación del teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema de la divergencia  2.3.10. Jacobiano
  3. Ecuaciones diferenciales  3.1. Ecuación diferencial ordinaria  3.1.1. Ecuaciones diferenciales de primer orden  3.1.2. Ecuaciones diferenciales de orden superior  3.1.3. Sistemas de ecuaciones diferenciales  3.1.4. Solución en serie  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Ecuaciones diferenciales parciales  3.2.1. Entendiendo la ecuación del calor  3.2.2. Ecuación de onda  3.2.3. Ecuación de Laplace  3.2.4. Separación de variables  3.2.5. Métodos de transformada de Fourier en ecuaciones diferenciales parciales
  4. Análisis Real  4.1. Sucesiones y series  4.1.1. Convergencia de secuencias  4.1.2. Pruebas de series  4.1.3. Series de potencias  4.1.4. Convergencia uniforme  4.2. Funciones de variables reales  4.2.1. Límites y continuidad  4.2.2. Comprendiendo la continuidad uniforme  4.2.3. Diferenciación de funciones de variables reales  4.2.4. Integración de Riemann  4.2.5. Integración de Lebesgue
  5. Introducción al Análisis Complejo  5.1. Números complejos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial en números complejos  5.2. Funciones de una variable compleja  5.2.1. Funciones analíticas  5.2.2. Ecuaciones de Cauchy–Riemann  5.2.3. Integrales de contorno  5.2.4. Teorema de integración de Cauchy  5.2.5. Teorema del residuo en análisis complejo  5.2.6. Mapeo conformal
  6. Probabilidad y estadística  6.1. Teoría de la probabilidad  6.1.1. Conceptos Básicos de Probabilidad  6.1.2. Variables aleatorias  6.1.3. Comprendiendo Distribuciones de Probabilidad  6.1.4. Expectativa y variación  6.1.5. Probabilidad condicional y el teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estadísticas descriptivas  6.2.2. Estadística inferencial  6.2.3. Prueba de hipótesis  6.2.4. Análisis de regresión  6.2.5. Comprendiendo ANOVA: Análisis de Varianza
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo para encontrar raíces  7.2. Integración numérica  7.3. Diferenciación numérica  7.4. Soluciones numéricas de ecuaciones diferenciales  7.5. Cálculos de matrices  7.6. Interpolación y extrapolación
  8. Introducción a las matemáticas discretas  8.1. Argumentos y pruebas  8.2. Compañerismo  8.3. Teoría de grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relación de recurrencia
  9. Programación lineal y optimización  9.1. Comprendiendo el método del simplex en programación lineal y optimización  9.2. Dualidad en programación lineal y optimización  9.3. Programación entera  9.4. Optimización no lineal
  10. Comprendiendo la topología: un viaje a través de formas y espacios  10.1. Espacio métrico  10.2. Espacios topológicos  10.3. Continuidad y homeomorfismos  10.4. Densidad  10.5. Asociatividad en topología
  11. Introducción a la geometría  11.1. Geometría euclidiana  11.2. Geometría diferencial  11.3. Geometría no euclidiana  11.4. Geometría proyectiva
  12. Física matemática  12.1. Series de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicaciones de ecuaciones diferenciales  12.4. Funciones especiales
  13. Teoría de conjuntos y lógica  13.1. Conjuntos y subconjuntos  13.2. Relaciones y funciones  13.3. Entendiendo la cardinalidad en teoría de conjuntos y lógica  13.4. Comprendiendo la lógica formal en la teoría de conjuntos y la lógica  13.5. Teoría de conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introducción al análisis funcional  14.1. Ubicación estándar  14.2. Espacios de Banach  14.3. Comprender el espacio de Hilbert en análisis funcional  14.4. Operadores lineales

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Álgebra lineal


El álgebra lineal es una rama de las matemáticas que trata con vectores, espacios vectoriales (también llamados espacios lineales), transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales. Forma la base de muchas disciplinas científicas y se utiliza en diversos campos como la física, la informática, la ingeniería y otros.

Introducción al vector

Un vector es un objeto que tiene tanto magnitud como dirección. Puedes pensar en él como una flecha que apunta de un punto en el espacio a otro. Los vectores suelen representarse por símbolos como a, b o v.

Vectores en 2D

En dos dimensiones, un vector puede representarse como un par ordenado de números, que son sus coordenadas. Por ejemplo, el vector v = (3, 4) tiene componentes 3 en la dirección x y 4 en la dirección y.

v = (3, 4)
(3, 4)

Vectores en 3D

En tres dimensiones, un vector se representa como una tripleta de números: v = (x, y, z). El tercer componente agrega profundidad o altura.

v = (3, 4, 5)

Operaciones con vectores

Se pueden realizar varias operaciones básicas con vectores:

Suma de vectores

Para sumar dos vectores, solo tienes que sumar sus componentes correspondientes. Si a = (a1, a2) y b = (b1, b2), entonces a + b = (a1 + b1, a2 + b2).

a = (3, 4) b = (1, 2) a + b = (3 + 1, 4 + 2) = (4, 6)
(1, 2) (4, 6)

Multiplicación por un escalar

La multiplicación por un escalar implica escalar un vector por un número llamado escalar. Para un vector a = (a1, a2) y un escalar c, el producto c * a = (c*a1, c*a2).

c = 2 a = (3, 4) c * a = (2 * 3, 2 * 4) = (6, 8)
(6, 8)

Espacio vectorial

Un espacio vectorial es una colección de vectores que están cerrados bajo la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Esto significa que si tomas dos vectores en un espacio vectorial y los sumas, el resultado también está en el espacio vectorial. De manera similar, si tomas un vector en el espacio y lo multiplicas por un escalar, el resultado sigue estando en el espacio vectorial.

Base y dimensiones

Un conjunto de vectores forma una base para un espacio vectorial si cada vector en el espacio puede escribirse como una combinación lineal de los vectores de la base. El número de vectores en la base se llama la dimensión del espacio vectorial.

Por ejemplo, en el espacio bidimensional, la base estándar es {(1, 0), (0, 1)}, que tiene dimensión 2.

Matrices

Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Las matrices se utilizan para representar transformaciones lineales y sistemas de ecuaciones lineales.

Representación de matrices

La matriz suele denotarse con una letra mayúscula como A o B y para una matriz 2x2 se ve así:

A = | 1 2 | | 3 4 |

Operaciones con matrices

Al igual que con los vectores, también podemos realizar operaciones con matrices como la suma, la multiplicación y encontrar la inversa.

Suma de matrices

Las matrices pueden sumarse si tienen las mismas dimensiones. Para sumar dos matrices, suma sus elementos correspondientes.

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | A + B = | 1+5 2+6 | | 3+7 4+8 | A + B = | 6 8 | | 10 12 |

Multiplicación de matrices

La multiplicación de matrices es más compleja que la suma e implica el producto punto de filas y columnas. Si A es una matriz mxn y B es una matriz nxp, entonces el resultado C = AB es una matriz mxp.

A = | 1 2 | | 3 4 | B = | 5 6 | | 7 8 | AB = | (1*5 + 2*7) (1*6 + 2*8) | | (3*5 + 4*7) (3*6 + 4*8) | AB = | 19 22 | | 43 50 |

Transformaciones lineales

Una transformación lineal es una función entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar. Si T es una transformación lineal, entonces para los vectores u y v y un escalar c, se cumplen las siguientes condiciones: T(u + v) = T(u) + T(v) y T(c * u) = c * T(u).

Determinantes e inversas

Determinantes

El determinante es un número especial que se puede calcular a partir de una matriz cuadrada. Proporciona información importante sobre la matriz, como si es invertible o no y la cantidad de transformación descrita por la matriz.

A = | ab | | cd | det(A) = ad - bc

Inversa

La inversa de una matriz A es otra matriz, denotada por A^-1, de modo que al multiplicarse juntas, producen la matriz identidad. No todas las matrices tienen inversas, y una matriz debe ser cuadrada y tener un determinante distinto de cero para ser invertible.

A = | 1 2 | | 3 4 | A^-1 = (1/det(A)) * | d -b | | -ca | A^-1 = (1/(1*4 - 2*3)) * | 4 -2 | | -3 1 | A^-1 = | -2 1 | | 1.5 -0.5 |

Valores propios y vectores propios

Los valores propios y vectores propios son conceptos importantes en álgebra lineal y tienen aplicaciones en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería. Un vector propio de una matriz cuadrada A es un vector no nulo v tal que cuando A se multiplica por v, el resultado es un múltiplo escalar de v. Este escalar se llama valor propio.

Av = λv donde: A = matriz v = vector propio λ = valor propio

Aplicaciones del álgebra lineal

El álgebra lineal tiene muchas aplicaciones en varios campos:

  • Gráficos por Computador: El álgebra lineal se utiliza extensamente en gráficos por computador para representar y manipular imágenes y modelos 3D. Las transformaciones como el escalado, rotación y traslación se realizan fácilmente usando matrices.
  • Ingeniería: Los ingenieros utilizan el álgebra lineal para resolver sistemas de ecuaciones lineales que describen fenómenos físicos como circuitos eléctricos y estructuras mecánicas.
  • Física: El álgebra lineal se utiliza en física para modelar matemáticamente el mundo físico. El álgebra lineal se utiliza ampliamente en temas como la mecánica cuántica y la relatividad.
  • Economía: Los economistas utilizan el álgebra lineal para analizar modelos económicos y optimizar procesos de producción y distribución.

Conclusión

El álgebra lineal es un área fundamental de las matemáticas que subyace a muchas disciplinas científicas y de ingeniería modernas. Comprender conceptos básicos como vectores, matrices, transformaciones lineales y las operaciones que se pueden realizar sobre ellos proporciona una potente caja de herramientas para resolver problemas complejos del mundo real.


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