正交性和正交标准基

在线性代数中，“正交性”是一个基本概念，涉及向量的垂直性。它将几何中的垂直线的概念带入向量空间。正交向量的点积为零，意味着它们是“独立”的方向。理解正交性在各种数学任务中很重要，包括简化向量运算，并在计算机科学、物理学和工程学中有广泛的应用。

正交性

要理解正交性，我们首先需要探索点积（也称为内积）。对于R n中的向量，点积是一种通过将两个向量相乘来创建标量（单个数字）的方法。如果您有两个向量u和v在R n中，点积定义为

    u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

其中u i和v i是向量u和v的分量。两个向量称为正交，如果它们的点积为零：

    u • v = 0

视觉示例：

在上面的可视化中，红线和蓝线代表两个正交向量。它们在原点处相交成直角，绿色点代表原点。

正交向量的性质

• 平面中的两个非零向量如果它们相互成90度角，则它们是正交的。
• 高维空间中的正交向量仍然具有其点积为零的特性。
• 如果一组向量相互垂直（集合中的每对向量都是垂直的），则该集合称为垂直集合。

正交标准向量和基

虽然正交向量是在彼此垂直的向量，但正交标准向量增加了一个附加条件：每个向量必须具有相同的长度（大小）。如果正交集合中的所有向量也具有相同的长度，则它成为一个正交标准集合。关键点如下：

• 正交标准向量： 一组向量是正交标准的，如果每个向量的大小为1，并且组中的任意一对向量是正交的。
• 正交标准基： 向量空间的一个正交标准基是一个也是正交标准集合的基。

数学上，对于一组向量{ e 1, e 2, ..., e n } 要成为正交标准，必须满足以下条件：

    e i • e j = 
    ,
        1 如果 i = j（相同向量）
        0 如果 i ≠ j（不同向量）
    ,

视觉示例：

上面的红线和蓝线表示为二维平面形成正交标准基的向量。它们成直角且每个线的大小为一。

正交标准基的用途

拥有向量空间的正交标准基极为有用，因为它简化了许多计算，例如在该空间中寻找向量的分量。设b为向量空间V的正交标准基，则对于V中的任意向量v，我们可以如下表示v：

    V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n

这是一个强有力的结果，因为要找到v沿_{e i}方向的坐标，仅需点积v • e i。这种简单性源于由于归一化v 与其自身的点积给出一。

正交标准基的构造: 格拉姆-施密特过程

将任何基转换成正交标准基的最著名的方法之一是格拉姆-施密特过程。其步骤如下：

1. 从一组线性无关向量{v 1, v 2, ..., v n}开始。
2. 将第一个向量转换为单位向量, 设置e 1 = v 1 / |v 1|
3. 对于每个后续向量v k, 使其正交于先前获得的所有正交向量。
4. 将每个正交向量归一化以将其变为单位向量。

插图：

该插图显示了如何使用格拉姆-施密特过程将初始向量（红色和蓝色）转换为正交向量，最终当所有向量归一化后形成正交标准基。

应用和示例

正交标准基在计算机图形、信号处理和微分方程的求解中广泛使用，以及许多其它领域。它们通过允许向量分解和投影以简化计算。

示例计算：

考虑向量u = (1, 0, -1)和v = (1, 2, 1)。我们想看看它们是否正交：

点积计算如下：

    u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0

由于它们的点积为零，向量u和v是正交的。

正交标准基允许有效地表示和操作向量空间。通过理解正交性以及如何构建正交标准集合，我们可以发现复杂问题的简单解决方案。

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