Бакалавриат
  1. Алгебра  1.1. Линейная алгебра  1.1.1. Матрицы  1.1.2. Определители  1.1.3. Системы линейных уравнений  1.1.4. Понимание векторных пространств в линейной алгебре  1.1.5. Линейные преобразования  1.1.6. Собственные значения и собственные векторы  1.1.7. Диагонализация  1.1.8. Внутреннее пространственное произведение  1.1.9. Ортогональность и ортонормированный базис  1.1.10. Сингулярное разложение  1.2. Абстрактная алгебра  1.2.1. Группа  1.2.2. Подгруппы  1.2.3. Циклические группы  1.2.4. Группа перестановок  1.2.5. Гомеоморфизм  1.2.6. Нормальные подгруппы  1.2.7. Введение в кольца в абстрактной алгебре  1.2.8. Поле  1.2.9. Идеалы и фактор-кольца  1.2.10. Кольца многочленов  1.2.11. Векторное пространство над полем  1.2.12. Модуль  1.2.13. Введение в теорию Галуа
  2. Расчеты  2.1. Дифференциальное исчисление  2.1.1. Понимание пределов в дифференциальном исчислении  2.1.2. Понимание континуума в дифференциальном исчислении  2.1.3. Производные  2.1.4. Понимание правила цепочки в дифференциальном исчислении  2.1.5. Неявное дифференцирование  2.1.6. Приложения производных  2.1.7. Задачи оптимизации  2.1.8. Понимание теоремы о среднем значении  2.2. Интегральное исчисление  2.2.1. Определенный интеграл  2.2.2. Неопределенный интеграл  2.2.3. Методы интеграции  2.2.4. Неправильные интегралы  2.2.5. Применение интеграла  2.2.6. Длина дуги и площадь поверхности  2.3. Многомерное исчисление  2.3.1. Частная производная  2.3.2. Градиент в многомерном исчислении  2.3.3. Дивергенция и ротор  2.3.4. Введение в множественное интегрирование  2.3.5. Понимание линейных интегралов  2.3.6. Поверхностные интегралы  2.3.7. Объяснение теоремы Грина  2.3.8. Теорема Стокса  2.3.9. Теорема о дивергенции  2.3.10. Якобиан
  3. Дифференциальные уравнения  3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения  3.1.1. Дифференциальные уравнения первого порядка  3.1.2. Дифференциальные уравнения высшего порядка  3.1.3. Системы дифференциальных уравнений  3.1.4. Решение в виде ряда  3.1.5. Численные методы для ОДУ  3.2. Уравнения в частных производных  3.2.1. Понимание уравнения теплопроводности  3.2.2. Уравнение волны  3.2.3. Уравнение Лапласа  3.2.4. Разделение переменных  3.2.5. Методы преобразования Фурье в уравнениях с частными производными
  4. Реальный анализ  4.1. Последовательности и ряды  4.1.1. Сходимость последовательностей  4.1.2. Тестирование рядов  4.1.3. Степенной ряд  4.1.4. Равномерная сходимость  4.2. Функции действительных переменных  4.2.1. Пределы и непрерывность  4.2.2. Понимание равномерной непрерывности  4.2.3. Дифференцирование функций действительных переменных  4.2.4. Интегрирование по Риману  4.2.5. Интеграл Лебега
  5. Введение в комплексный анализ  5.1. Комплексные числа  5.1.1. Полярная форма  5.1.2. Экспоненциальная форма в комплексных числах  5.2. Функции комплексной переменной  5.2.1. Аналитические функции  5.2.2. Уравнения Коши–Римана  5.2.3. Контурные интегралы  5.2.4. Теорема Коши о интеграции  5.2.5. Теорема о вычетах в комплексном анализе  5.2.6. Конформное отображение
  6. Вероятность и статистика  6.1. Теория вероятностей  6.1.1. Основные концепции вероятности  6.1.2. Случайные величины  6.1.3. Понимание вероятностных распределений  6.1.4. Ожидание и вариация  6.1.5. Условная вероятность и теорема Байеса  6.2. Фигуры  6.2.1. Описательная статистика  6.2.2. Инференциальная статистика  6.2.3. Проверка гипотез  6.2.4. Регрессионный анализ  6.2.5. Понимание ANOVA: анализ дисперсии
  7. Численные методы  7.1. Алгоритм нахождения корней  7.2. Численное интегрирование  7.3. Численное дифференцирование  7.4. Численные решения дифференциальных уравнений  7.5. Вычисления с матрицами  7.6. Интерполяция и экстраполяция
  8. Введение в дискретную математику  8.1. Аргументы и доказательства  8.2. Компаньонство  8.3. Теория графов  8.4. Алгебра логики  8.5. Рекуррентное соотношение
  9. Линейное программирование и оптимизация  9.1. Понимание метода симплекс в линейном программировании и оптимизации  9.2. Двойственность в линейном программировании и оптимизации  9.3. Целочисленное программирование  9.4. Нелинейная оптимизация
  10. Понимание топологии: путешествие по формам и пространствам  10.1. Метрик пространство  10.2. Топологические пространства  10.3. Непрерывность и гомеоморфизмы  10.4. Плотность  10.5. Ассоциативность в топологии
  11. Введение в геометрию  11.1. Евклидова геометрия  11.2. Дифференциальная геометрия  11.3. Неевклидова геометрия  11.4. Проективная геометрия
  12. Математическая физика  12.1. Ряд Фурье  12.2. Преобразование Лапласа  12.3. Применение дифференциальных уравнений  12.4. Специальные функции
  13. Теория множеств и логика  13.1. Множества и подмножества  13.2. Отношения и функции  13.3. Понимание мощности в теории множеств и логике  13.4. Понимание формальной логики в теории множеств и логике  13.5. Теория множества Цермело-Френкеля
  14. Введение в функциональный анализ  14.1. Стандартная локация  14.2. Банаховы пространства  14.3. Понимание пространства Гильберта в функциональном анализе  14.4. Линейные операторы

Бакалавриат → Алгебра → Линейная алгебра ↓


Ортогональность и ортонормированный базис


В линейной алгебре "ортогональность" — это фундаментальная концепция, связанная с перпендикулярностью векторов. Она переносит идею перпендикулярных линий из геометрии в векторные пространства. Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю, что означает, что они являются "независимыми" направлениями. Понимание ортогональности важно для множества математических задач, включая упрощение векторных вычислений, и имеет приложения в компьютерных науках, физике и инженерии.

Ортогональность

Чтобы понять ортогональность, нам нужно сначала изучить скалярное произведение (его также называют внутренним произведением). Для векторов в R n скалярное произведение — это способ создать скаляр (одно число) путем умножения двух векторов. Если у вас есть два вектора u и v в R n, скалярное произведение определяется как

    u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

где u i и v i — это компоненты векторов u и v, соответственно. Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:

    u • v = 0

Визуальный пример:

На визуализации выше красная и синяя линии представляют два ортогональных вектора. Они пересекаются под прямым углом в начале координат, что обозначено зеленой точкой.

Свойства ортогональных векторов

  • Два ненулевых вектора в двумерной плоскости ортогональны, если они образуют угол 90 градусов относительно друг друга.
  • Ортогональные векторы в более высоких измерениях всё ещё имеют свойство, что их скалярное произведение равно нулю.
  • Если набор векторов взаимно перпендикулярен (каждая пара векторов в наборе перпендикулярна друг другу), то такой набор называется перпендикулярным набором.

Ортонормированные векторы и базисы

Хотя ортогональные векторы — это векторы, которые перпендикулярны друг другу, ортонормированные векторы добавляют дополнительное условие: каждый вектор должен иметь одинаковую длину (величину). Если все векторы в ортогональном наборе также имеют одинаковую длину, то такой набор становится ортонормированным. Основные моменты:

  • Ортонормированные векторы: Группа векторов является ортонормированной, если величина каждого вектора равна единице, и любая пара векторов в группе ортогональна.
  • Ортонормированный базис: Ортонормированный базис для векторного пространства — это базис, который является также ортонормированным набором.

Математически, для набора векторов { e 1, e 2, ..., e n } условия для ортонормированности следующие:

    e i • e j = 
    ,
        1, если i = j (одни и те же векторы)
        0, если i ≠ j (разные векторы)
    ,

Визуальный пример:

Красная и синяя линии выше представляют векторы, которые образуют ортонормированный базис для 2D-плоскости. Они перпендикулярны и каждый имеет величину, равную единице.

Почему ортонормированные базисы полезны

Наличие ортонормированного базиса для векторного пространства чрезвычайно полезно, так как это упрощает многие вычисления, такие как нахождение компонентов вектора в этом пространстве. Пусть b — это ортонормированный базис для векторного пространства V. Тогда, для любого вектора v в V, можно выразить v следующим образом:

    V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n

Это мощный результат, потому что, чтобы найти координату v в направлении e i, нужно только скалярное произведение v • e i. Эта простота возникает, потому что скалярное произведение v с самим собой даст единицу благодаря нормализации.

Построение ортонормированного базиса: процесс Грама–Шмидта

Одним из самых известных методов преобразования любого базиса в ортонормированный является процедура Грама-Шмидта. Она работает следующим образом:

  1. Начать с начального набора линейно независимых векторов {v 1, v 2, ..., v n}.
  2. Чтобы преобразовать первый вектор в единичный, задайте e 1 = v 1 / |v 1|
  3. Для каждого последующего вектора v k сделайте его ортогональным ко всем ранее полученным ортогональным векторам.
  4. Нормализовать каждый ортогональный вектор, чтобы превратить его в единичный вектор.

Иллюстрация:

Эта иллюстрация показывает, как начальные векторы (красный и синий) преобразуются в ортогональные векторы с помощью процесса Грама–Шмидта, и в конечном итоге, когда все векторы нормализованы, формируется ортонормированный базис.

Применения и примеры

Ортонормированные базисы широко используются в компьютерной графике, обработке сигналов и при решении дифференциальных уравнений, а также во многих других областях. Они упрощают вычисления, позволяя разложение и проекцию векторов простым и понятным образом.

Пример вычислений:

Рассмотрим векторы u = (1, 0, -1) и v = (1, 2, 1). Мы хотим выяснить, являются ли они ортогональными:

Скалярное произведение вычисляется следующим образом:

    u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0

Поскольку их скалярное произведение равно нулю, векторы u и v ортогональны.

Ортонормированные базисы позволяют эффективно представлять и манипулировать векторными пространствами. Понимая ортогональность и как строить ортонормированные наборы, мы можем находить простые решения сложных задач.


Бакалавриат → 1.1.9


U
username
0%
завершено в Бакалавриат

← предыдущая (1.1.8)
Внутреннее пространственное произведение
следующая (1.1.10) →
Сингулярное разложение

комментарии 



Ортогональность и ортонормированный базис

https://www.buddymath.com/ug/1.1.9?bmal=ru