Graduação
  1. Álgebra  1.1. Álgebra linear  1.1.1. Matrizes  1.1.2. Determinantes  1.1.3. Sistemas de equações lineares  1.1.4. Compreendendo espaços vetoriais na álgebra linear  1.1.5. Transformações lineares  1.1.6. Autovalores e autovetores  1.1.7. Diagonalização  1.1.8. Espaço de produto interno  1.1.9. Ortogonalidade e base ortonormal  1.1.10. Decomposição em valores singulares  1.2. Álgebra abstrata  1.2.1. Grupo  1.2.2. Subgrupos  1.2.3. Grupos cíclicos  1.2.4. Grupo de Permutações  1.2.5. Homeomorfismo  1.2.6. Subgrupos normais  1.2.7. Introdução aos anéis na álgebra abstrata  1.2.8. Campo  1.2.9. Ideais e anéis quocientes  1.2.10. Anéis de polinômios  1.2.11. Espaço vetorial sobre um campo  1.2.12. Módulo  1.2.13. Introdução à teoria de Galois
  2. Cálculos  2.1. Cálculo diferencial  2.1.1. Compreendendo limites no cálculo diferencial  2.1.2. Compreendendo o contínuo no cálculo diferencial  2.1.3. Derivadas  2.1.4. Compreendendo a regra da cadeia no cálculo diferencial  2.1.5. Diferenciação implícita  2.1.6. Aplicações das derivadas  2.1.7. Problemas de otimização  2.1.8. Entendendo o teorema do valor médio  2.2. Cálculo integral  2.2.1. Integral definida  2.2.2. Integral indefinida  2.2.3. Técnicas de integração  2.2.4. Integrais impróprias  2.2.5. Aplicações da integração  2.2.6. Comprimento de arco e área de superfície  2.3. Cálculo Multivariável  2.3.1. Derivada parcial  2.3.2. Gradiente em cálculo multivariável  2.3.3. Divergência e rotacional  2.3.4. Introdução à integração múltipla  2.3.5. Compreendendo integrais de linha  2.3.6. Integrais de superfície  2.3.7. Explicação do teorema de Green  2.3.8. Teorema de Stokes  2.3.9. Teorema da divergência  2.3.10. Jacobian
  3. Equações diferenciais  3.1. Equação diferencial ordinária  3.1.1. Equações diferenciais de primeira ordem  3.1.2. Equações diferenciais de ordem superior  3.1.3. Sistemas de equações diferenciais  3.1.4. Solução por séries  3.1.5. Métodos numéricos para EDOs  3.2. Equações diferenciais parciais  3.2.1. Compreendendo a equação do calor  3.2.2. Equação da onda  3.2.3. Equação de Laplace  3.2.4. Separação de variáveis  3.2.5. Métodos de transformação de Fourier em equações diferenciais parciais
  4. Análise Real  4.1. Sequências e séries  4.1.1. Convergência de sequências  4.1.2. Teste de Séries  4.1.3. Séries de potência  4.1.4. Convergência uniforme  4.2. Funções de variáveis reais  4.2.1. Limites e continuidade  4.2.2. Compreendendo a continuidade uniforme  4.2.3. Diferenciação de funções de variáveis reais  4.2.4. Integração de Riemann  4.2.5. Integração de Lebesgue
  5. Introdução à Análise Complexa  5.1. Números complexos  5.1.1. Forma polar  5.1.2. Forma exponencial em números complexos  5.2. Funções de uma variável complexa  5.2.1. Funções Analíticas  5.2.2. Equações de Cauchy-Riemann  5.2.3. Integrais de contorno  5.2.4. Teorema de integração de Cauchy  5.2.5. Teorema de Resíduos na Análise Complexa  5.2.6. Mapeamento Conformal
  6. Probabilidade e estatística  6.1. Teoria da Probabilidade  6.1.1. Conceitos Básicos de Probabilidade  6.1.2. Variáveis aleatórias  6.1.3. Compreendendo Distribuições de Probabilidade  6.1.4. Expectativa e variação  6.1.5. Probabilidade condicional e o teorema de Bayes  6.2. Figuras  6.2.1. Estatísticas descritivas  6.2.2. Estatística inferencial  6.2.3. Teste de hipótese  6.2.4. Análise de regressão  6.2.5. Compreendendo a ANOVA: Análise de Variância
  7. Métodos numéricos  7.1. Algoritmo de busca de raízes  7.2. Integração numérica  7.3. Diferenciação numérica  7.4. Soluções numéricas de equações diferenciais  7.5. Cálculos com matrizes  7.6. Interpolação e extrapolação
  8. Introdução à Matemática Discreta  8.1. Argumentos e provas  8.2. Companheirismo  8.3. Teoria dos grafos  8.4. Álgebra booleana  8.5. Relação de recorrência
  9. Programação Linear e Otimização  9.1. Entendendo o método simplex em programação linear e otimização  9.2. Dualidade em programação linear e otimização  9.3. Programação inteira  9.4. Otimização não linear
  10. Compreendendo topologia: uma jornada através de formas e espaços  10.1. Espaço métrico  10.2. Espaços topológicos  10.3. Continuidade e homeomorfismos  10.4. Densidade  10.5. Associatividade em topologia
  11. Introdução à Geometria  11.1. Geometria euclidiana  11.2. Geometria diferencial  11.3. Geometria não euclidiana  11.4. Geometria projetiva
  12. Física matemática  12.1. Séries de Fourier  12.2. Transformada de Laplace  12.3. Aplicações de equações diferenciais  12.4. Funções especiais
  13. Teoria dos conjuntos e lógica  13.1. Conjuntos e subconjuntos  13.2. Relações e funções  13.3. Compreendendo a cardinalidade na teoria dos conjuntos e na lógica  13.4. Compreendendo a lógica formal em teoria dos conjuntos e lógica  13.5. Teoria dos conjuntos de Zermelo–Fraenkel
  14. Introdução à análise funcional  14.1. Localização padrão  14.2. Espaços de Banach  14.3. Compreensão do espaço de Hilbert na análise funcional  14.4. Operadores lineares

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Ortogonalidade e base ortonormal


Na álgebra linear, "ortogonalidade" é um conceito fundamental que lida com a perpendicularidade dos vetores. Leva a ideia de linhas perpendiculares da geometria para espaços vetoriais. O produto escalar de vetores ortogonais é zero, o que significa que eles são direções 'independentes'. Compreender a ortogonalidade é importante em uma variedade de tarefas matemáticas, incluindo a simplificação de cálculos vetoriais, e tem aplicações em ciência da computação, física e engenharia.

Ortogonalidade

Para entender a ortogonalidade, primeiro precisamos explorar o produto escalar (também chamado de produto interno). Para vetores em R n, o produto escalar é uma maneira de criar um escalar (um único número) multiplicando dois vetores. Se você tem dois vetores u e v em R n, o produto escalar é definido como

    u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

onde u i e v i são os componentes dos vetores u e v, respectivamente. Dois vetores são chamados ortogonais se o produto escalar entre eles for zero:

    u • v = 0

Exemplo visual:

Na visualização acima, as linhas vermelha e azul representam dois vetores ortogonais. Eles se encontram em ângulos retos na origem, que é representada pelo ponto verde.

Propriedades dos vetores ortogonais

  • Dois vetores não nulos em um plano bidimensional são ortogonais se estiverem a um ângulo de 90 graus um do outro.
  • Vetores ortogonais em dimensões superiores ainda têm a propriedade de que seu produto escalar é zero.
  • Se um conjunto de vetores é mutuamente perpendicular (cada par de vetores no conjunto é perpendicular), então esse conjunto é chamado de conjunto perpendicular.

Vetores e bases ortonormais

Enquanto os vetores ortogonais são vetores que estão em ângulos retos uns aos outros, os vetores ortonormais adicionam uma condição adicional: cada vetor deve ter o mesmo comprimento (magnitude). Se todos os vetores em um conjunto ortogonal também tiverem o mesmo comprimento, torna-se um conjunto ortonormal. Os pontos-chave são os seguintes:

  • Vetores ortonormais: Um grupo de vetores é ortonormal se a magnitude de cada vetor for unidade e qualquer par de vetores no grupo for ortogonal.
  • Base ortonormal: Uma base ortonormal para um espaço vetorial é uma base que também é um conjunto ortonormal.

Matematicamente, para um conjunto de vetores { e 1, e 2, ..., e n } ser ortonormal, deve-se cumprir o seguinte:

    e i • e j = 
    ,
        1 se i = j (mesmos vetores)
        0 se i ≠ j (vetores diferentes)
    ,

Exemplo visual:

As linhas vermelha e azul acima representam vetores que formam uma base ortonormal para o plano 2D. Eles estão em ângulos retos e cada um tem magnitude um.

Por que bases ortonormais são úteis

Ter uma base ortonormal para um espaço vetorial é incrivelmente útil, pois simplifica muitos cálculos, como encontrar os componentes de um vetor nesse espaço. Seja b a base ortonormal para um espaço vetorial V. Então, para qualquer vetor v em V, podemos expressar v da seguinte forma:

    V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n

Este é um resultado poderoso porque, para encontrar a coordenada de v ao longo da direção de e i, só é necessário o produto escalar v • e i. Esta simplicidade surge porque o produto escalar de v consigo mesmo dará um devido à normalização.

Construção de uma base ortonormal: o processo de Gram–Schmidt

Um dos procedimentos mais famosos para converter qualquer base em uma base ortonormal é o procedimento de Gram-Schmidt. Funciona assim:

  1. Comece com um conjunto inicial de vetores linearmente independentes {v 1, v 2, ..., v n}.
  2. Para converter o primeiro vetor em um vetor unitário, defina e 1 = v 1 / |v 1|
  3. Para cada vetor subsequente v k, torne-o ortogonal a todos os vetores ortogonais previamente obtidos.
  4. Normalize cada vetor ortogonal para transformá-lo em um vetor unitário.

Ilustração:

Esta ilustração mostra como os vetores iniciais (vermelho e azul) são transformados em vetores ortogonais usando o processo de Gram–Schmidt e, finalmente, quando todos os vetores são normalizados, uma base ortonormal é formada.

Aplicações e exemplos

Bases ortonormais são amplamente usadas em gráficos de computador, processamento de sinais e resolução de equações diferenciais, além de muitos outros campos. Elas simplificam cálculos ao permitir a decomposição e projeção de vetores de maneira direta.

Cálculo de exemplo:

Considere os vetores u = (1, 0, -1) e v = (1, 2, 1). Queremos ver se eles são ortogonais:

O produto escalar é calculado da seguinte forma:

    u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0

Como o produto escalar deles é zero, os vetores u e v são ortogonais.

Bases ortonormais permitem representação e manipulação eficientes de espaços vetoriais. Compreendendo a ortogonalidade e como construir conjuntos ortonormais, podemos descobrir soluções simples para problemas complexos.


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Ortogonalidade e base ortonormal

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