直交性と直交規定
線型代数において、「直交性」はベクトルの垂直性を扱う基本的な概念です。これは、幾何学からベクトル空間への垂直な線の考え方を伝えます。直交ベクトルの内積はゼロであり、これはそれらが「独立した」方向であることを意味します。直交性の理解は、ベクトル計算を簡略化することを含むさまざまな数学的タスクにおいて重要であり、コンピュータサイエンスや物理学、工学における応用があります。
直交性
直交性を理解するためには、まず内積（別名、ドット積）を探求する必要があります。R n内のベクトルにとって、内積は2つのベクトルを掛けてスカラー（単一の数値）を作成する方法です。uとvという2つのベクトルがR nにある場合、内積は次のように定義されます。
u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n
ここで、u iとv iはそれぞれベクトルuとvの成分です。2つのベクトルが直交するとは、その内積がゼロであることを意味します：
u • v = 0
視覚例：
上のビジュアライゼーションにおいて、赤と青の線は2つの直交ベクトルを表しています。原点で直角に交わっており、緑色のドットで示されています。
直交ベクトルの特性
- 2次元平面での2つの非ゼロベクトルは、互いに90度の角度にあるときに直交します。
- 高次元での直交ベクトルも、内積がゼロであるという特性を持っています。
- ベクトル集合が互いに垂直（集合内の各ペアのベクトルが垂直）である場合、これは垂直集合と呼ばれます。
直交規定ベクトルと基底
直交ベクトルが互いに直角であるのに対し、直交規定ベクトルは追加の条件を追加します：各ベクトルは同じ長さ（大きさ）を持っていなければなりません。直交集合内の全てのベクトルが同じ長さを持つ場合、それは直交規定集合になります。重要なポイントは次の通りです：
- 直交規定ベクトル： ベクトルのグループが、各ベクトルの大きさが1であり、グループ内の任意のベクトルペアが直交する場合、そのグループは直交規定です。
- 直交規定基底： ベクトル空間の直交規定基底は、直交規定集合でもある基底です。
数学的に、ベクトル集合 { e 1, e 2, ..., e n } が直交規定であるためには、以下が成り立つ必要があります。
e i • e j =
,
1 if i = j (同じベクトル)
0 if i ≠ j (異なるベクトル)
,
視覚例：
上記の赤と青の線は、2D平面の直交規定基底を形成するベクトルを表しています。互いに直角であり、各ベクトルの大きさは1です。
直交規定基底が有用である理由
ベクトル空間における直交規定基底を持つことは、多くの計算を簡単にするため非常に有用です。ベクトル空間Vに対して直交規定基底をbとすると、任意のベクトルvを次のように表現できます：
V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n
これは強力な結果であり、e iの方向に沿ったvの座標を見つけるためには内積v • e iだけが必要です。このシンプルさは、正規化によりv自身との内積が1になるためです。
直交規定基底の構成方法：グラム・シュミット過程
任意の基底を直交規定基底に変換する最も有名な手法の1つがグラム・シュミット過程です。その手順は次の通りです：
- 初期の一次独立なベクトルの集合
{v 1, v 2, ..., v n}から始めます。 - 最初のベクトルを単位ベクトルに変換するには、
e 1 = v 1 / |v 1|とします。 - 次の各ベクトル
v kは、以前に得られた全ての直交ベクトルに対して直交となるようにします。 - 各直交ベクトルを正規化して単位ベクトルにします。
説明図：
この説明図は、初期ベクトル（赤と青）がグラム・シュミット過程を使用して直交ベクトルに変換され、最終的に全てのベクトルが正規化されて直交規定基底が形成される様子を示しています。
応用と例
直交規定基底は、コンピュータグラフィックス、信号処理、微分方程式の解法、その他多くの分野で広く使用されています。それらは、ベクトルの分解と射影を直接的な方法で行うことを可能にします。
計算例：
ベクトルu = (1, 0, -1)とv = (1, 2, 1)を考えます。これらが直交するかどうかを見てみましょう：
内積は次のように計算されます：
u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0
内積がゼロであるため、ベクトルuとvは直交しています。
直交規定基底は、ベクトル空間の効率的な表現と操作を可能にします。直交性の理解と直交規定集合の構築方法を知ることで、複雑な問題に対して簡単な解法を見出すことができます。
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