अर्थोगोनैलिटी और ऑर्थोर्नॉर्मल आधार

रैखिक बीजगणित में, "अर्थोगोनैलिटी" एक मौलिक अवधारणा है जो वेक्टर के लंबवतता से संबंधित है। यह ज्यामिति से वेक्टर स्थानों तक लंबवत रेखाओं के विचार को लेकर आता है। अर्थोगोनल वेक्टर का डॉट शीर्षफल शून्य होता है, जिसका मतलब है कि वे 'स्वतंत्र' दिशाएं होते हैं। अर्थोगोनैलिटी को समझना विभिन्न गणितीय कार्यों में महत्वपूर्ण है, जैसे कि वेक्टर गणनाओं को सरल बनाना, और इसका कम्प्यूटर विज्ञान, भौतिकी और इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग होता है।

अर्थोगोनैलिटी

अर्थोगोनैलिटी को समझने के लिए, हमें पहले डॉट शीर्षफल (जिसे आंतरिक शीर्षफल भी कहा जाता है) को खोजने की आवश्यकता है। R n में वेक्टर के लिए, डॉट शीर्षफल दो वेक्टरों के गुणन द्वारा एक स्कलर (एक एकल संख्या) बनाने का तरीका है। यदि आपके पास दो वेक्टर u और v हों R n में, तो डॉट शीर्षफल इस प्रकार परिभाषित है

    u • v = u 1 v 1 + u 2 v 2 + ... + u n v n

जहाँ u i और v i वेक्टर u और v के घटक होते हैं, क्रमानुसार। दो वेक्टर अर्थोगोनल कहलाते हैं यदि उनका डॉट शीर्षफल शून्य हो:

    u • v = 0

दृश्य उदाहरण:

ऊपर के दृश्यिकरण में, लाल और नीली रेखाएं दो अर्थोगोनल वेक्टरों का प्रतिनिधित्व करती हैं। वे मूल बिन्दु पर समकोण पर मिलते हैं, जो हरे बिन्दु द्वारा दर्शाया जाता है।

अर्थोगोनल वेक्टरों के गुण

• दो गैर-शून्य वेक्टर एक द्वि-मितीय तल में अर्थोगोनल होते हैं यदि वे एक-दूसरे के 90 डिग्री कोण पर हों।
• उच्च माप वाली दशाओं में अर्थोगोनल वेक्टर अब भी वह गुण रखते हैं कि उनका डॉट उत्पाद शून्य होता है।
• यदि एक समूह की कई वेक्टर एक-दूसरे के प्रति लम्बवत हैं (समूह के प्रत्येक युगल वेक्टर लम्बवत हैं), तो इस समूह को एक लम्बवत समूह कहते हैं।

ऑर्थोर्नॉर्मल वेक्टर और आधार

जबकि अर्थोगोनल वेक्टर वह वेक्टर होते हैं जो एक-दूसरे के प्रति समकोण पर होते हैं, ऑर्थोर्नॉर्मल वेक्टर एक अतिरिक्त शर्त जोड़ते हैं: प्रत्येक वेक्टर की समान लंबाई (आकार) होनी चाहिए। यदि अर्थोगोनल समूह के सभी वेक्टरों की लंबाई भी समान होती है, तो यह एक ऑर्थोर्नॉर्मल समूह बन जाता है। मुख्य बिंदु निम्नलिखित हैं:

• ऑर्थोर्नॉर्मल वेक्टर: वेक्टरों का एक समूह ऑर्थोर्नॉर्मल होता है यदि प्रत्येक वेक्टर की तुलना एकत्व है और समूह में किसी भी युगल वेक्टर अर्थोगोनल होते हैं।
• ऑर्थोर्नॉर्मल आधार: एक वेक्टर स्थान का ऑर्थोर्नॉर्मल आधार वह आधार होता है जो एक ऑर्थोर्नॉर्मल समूह भी होता है।

गणितीय रूप से, वेक्टर { e 1, e 2, ..., e n } का समूह ऑर्थोर्नॉर्मल होने के लिए निम्नलिखित सत्य होना चाहिए:

    e i • e j = 
    ,
        1 यदि i = j (समान वेक्टर)
        0 यदि i ≠ j (विभिन्न वेक्टर)
    ,

दृश्य उदाहरण:

उपर्युक्त लाल और नीली रेखाएं 2D मैदान के लिए ऑर्थोर्नॉर्मल आधार बनाने वाले वेक्टरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। वे समकोण पर होते हैं और प्रत्येक का लंबाई एक होती है।

ऑर्थोर्नॉर्मल आधार क्यों उपयोगी हैं

वेक्टर स्थान के लिए एक ऑर्थोर्नॉर्मल आधार प्राप्त करना अत्यंत उपयोगी होता है क्योंकि यह कई गणनाओं को सरल बनाता है, जैसे कि उस स्थान में एक वेक्टर के घटकों को खोजना। मान लें b एक वेक्टर स्थान V के लिए ऑर्थोर्नॉर्मल आधार हो, फिर, V में किसी भी वेक्टर v के लिए, हम v को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं:

    V = (V • E 1 )E 1 + (V • E 2 )E 2 + ... + (V • E n )E n

यह एक शक्तिशाली परिणाम है क्योंकि v के _{e i} की दिशा के साथ निर्देशांक खोजने के लिए, केवल डॉट उत्पाद v • e i की आवश्यकता होती है। यह सादगी इसलिए आती है क्योंकि v के साथ डॉट उत्पाद एक होगा सामान्यकरण के कारण।

ऑर्थोर्नॉर्मल आधार का निर्माण: ग्राम-श्मित प्रक्रिया

किसी भी आधार को ऑर्थोर्नॉर्मल आधार में परिवर्तित करने के लिए सबसे प्रसिद्ध प्रक्रियाओं में से एक ग्राम-श्मित प्रक्रिया है। यह इस प्रकार कार्य करती है:

1. एक प्रारंभिक सुपरिचायक स्वतंत्र वेक्टरों {v 1, v 2, ..., v n} के समूह के साथ शुरू करें।
2. पहले वेक्टर को एक युनिट वेक्टर में परिवर्तित करने के लिए, e 1 = v 1 / |v 1| सेट करें
3. प्रत्येक बाद के वेक्टर v k के लिए, इसे सभी पहले से प्राप्त अर्थोगोनल वेक्टरों से अर्थोगोनल बनाएं।
4. प्रत्येक अर्थोगोनल वेक्टर को युनिट वेक्टर में परिवर्तित करने के लिए सामान्यीकृत करें।

चित्रण:

यह चित्रण दर्शाता है कि कैसे प्रारंभिक वेक्टर (लाल और नीला) ग्राम-श्मित प्रक्रिया का उपयोग करके अर्थोगोनल वेक्टरों में परिवर्तित होते हैं, और अंततः, जब सभी वेक्टर सामान्यीकृत होते हैं, तब एक ऑर्थोर्नॉर्मल आधार बनता है।

अनुप्रयोग और उदाहरण

ऑर्थोर्नॉर्मल आधार कम्प्यूटर ग्राफिक्स, सिग्नल प्रोसेसिंग, और डिफरेंशियल समीकरणों को हल करने के साथ-साथ कई अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग होते हैं। वे सरल गणना की अनुमति देकर वेक्टर विघटन और प्रक्षेपण को सरल बनाते हैं।

उदाहरण गणना:

वेक्टर u = (1, 0, -1) और v = (1, 2, 1) पर विचार करें। हम देखना चाहते हैं कि क्या वे अर्थोगोनल हैं:

डॉट शीर्षफल इस प्रकार गणना किया जाता है:

    u • v = (1 * 1) + (0 * 2) + (-1 * 1) = 0

क्योंकि उनका डॉट शीर्षफल शून्य है, वेक्टर u और v अर्थोगोनल हैं।

ऑर्थोर्नॉर्मल आधार वेक्टर स्थानों का प्रभावी प्रतिनिधित्व और हेरफेर करने के लिए अनुमति देते हैं। अर्थोगोनैलिटी को समझकर और कैसे ऑर्थोर्नॉर्मल सेट बनाएं, हम जटिल समस्याओं के सरल समाधान खोज सकते हैं।

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